Номер 670, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 670, страница 169.

Условие.

670. Решите уравнение:

1) $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0;$

2) $x^2 - x(\sqrt{6}-1) - \sqrt{6} = 0;$

3) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1;$

4) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано квадратное уравнение $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты: $a = 2$, $b = \sqrt{5}$, $c = -15$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 5 - 8(-15) = 5 + 120 = 125$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-\sqrt{5} + 5\sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$.

$x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{-6\sqrt{5}}{4} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\sqrt{5}; -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

2)

Дано уравнение $x^2 - x(\sqrt{6}-1) - \sqrt{6} = 0$.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - (\sqrt{6}-1)x - \sqrt{6} = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -(\sqrt{6}-1) = 1-\sqrt{6}$, $c = -\sqrt{6}$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (1-\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{6}) = (1 - 2\sqrt{6} + 6) + 4\sqrt{6} = 7 - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 7 + 2\sqrt{6}$.

Чтобы извлечь корень из дискриминанта, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $7 + 2\sqrt{6} = 1 + 6 + 2\sqrt{1 \cdot 6} = 1^2 + (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = (1+\sqrt{6})^2$.

Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{(1+\sqrt{6})^2} = 1+\sqrt{6}$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(1-\sqrt{6}) + (1+\sqrt{6})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6}-1 + 1+\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$.

$x_2 = \frac{-(1-\sqrt{6}) - (1+\sqrt{6})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6}-1 - 1-\sqrt{6}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: $\sqrt{6}; -1$.

3)

Дано уравнение $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 3, которое равно 24.

$24 \cdot \frac{x^2 - 4}{8} - 24 \cdot \frac{2x + 3}{3} = 24 \cdot (-1)$

$3(x^2 - 4) - 8(2x + 3) = -24$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x^2 - 12 - 16x - 24 = -24$

$3x^2 - 16x - 36 = -24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 - 16x - 36 + 24 = 0$

$3x^2 - 16x - 12 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3, b=-16, c=-12$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-16) + 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$.

$x_2 = \frac{-(-16) - 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $6; -\frac{2}{3}$.

4)

Дано уравнение $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3, 9 и 6. НОК(3, 9, 6) = 18. Умножим обе части уравнения на 18:

$18 \cdot \left(\frac{4x^2 + x}{3}\right) - 18 \cdot \left(\frac{x^2 + 17}{9}\right) = 18 \cdot \left(\frac{5x - 1}{6}\right)$

$6(4x^2 + x) - 2(x^2 + 17) = 3(5x - 1)$

Раскроем скобки:

$24x^2 + 6x - 2x^2 - 34 = 15x - 3$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$(24x^2 - 2x^2) + (6x - 15x) + (-34 + 3) = 0$

$22x^2 - 9x - 31 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=22, b=-9, c=-31$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 88 \cdot 31 = 81 + 2728 = 2809$.

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22}$.

$x_2 = \frac{-(-9) - 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1$.

Ответ: $\frac{31}{22}; -1$.