Номер 670, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 670, страница 169.
№670 (с. 169)
Условие. №670 (с. 169)
скриншот условия

670. Решите уравнение:
1) $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0;$
2) $x^2 - x(\sqrt{6}-1) - \sqrt{6} = 0;$
3) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1;$
4) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}.$
Решение 1. №670 (с. 169)




Решение 2. №670 (с. 169)

Решение 3. №670 (с. 169)

Решение 4. №670 (с. 169)

Решение 5. №670 (с. 169)


Решение 6. №670 (с. 169)



Решение 7. №670 (с. 169)

Решение 8. №670 (с. 169)
Дано квадратное уравнение $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты: $a = 2$, $b = \sqrt{5}$, $c = -15$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 5 - 8(-15) = 5 + 120 = 125$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-\sqrt{5} + 5\sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$.
$x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{-6\sqrt{5}}{4} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\sqrt{5}; -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
2)Дано уравнение $x^2 - x(\sqrt{6}-1) - \sqrt{6} = 0$.
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - (\sqrt{6}-1)x - \sqrt{6} = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -(\sqrt{6}-1) = 1-\sqrt{6}$, $c = -\sqrt{6}$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (1-\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{6}) = (1 - 2\sqrt{6} + 6) + 4\sqrt{6} = 7 - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 7 + 2\sqrt{6}$.
Чтобы извлечь корень из дискриминанта, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $7 + 2\sqrt{6} = 1 + 6 + 2\sqrt{1 \cdot 6} = 1^2 + (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = (1+\sqrt{6})^2$.
Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{(1+\sqrt{6})^2} = 1+\sqrt{6}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(1-\sqrt{6}) + (1+\sqrt{6})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6}-1 + 1+\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$.
$x_2 = \frac{-(1-\sqrt{6}) - (1+\sqrt{6})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6}-1 - 1-\sqrt{6}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: $\sqrt{6}; -1$.
3)Дано уравнение $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 3, которое равно 24.
$24 \cdot \frac{x^2 - 4}{8} - 24 \cdot \frac{2x + 3}{3} = 24 \cdot (-1)$
$3(x^2 - 4) - 8(2x + 3) = -24$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$3x^2 - 12 - 16x - 24 = -24$
$3x^2 - 16x - 36 = -24$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$3x^2 - 16x - 36 + 24 = 0$
$3x^2 - 16x - 12 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3, b=-16, c=-12$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-16) + 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$.
$x_2 = \frac{-(-16) - 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $6; -\frac{2}{3}$.
4)Дано уравнение $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}$.
Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3, 9 и 6. НОК(3, 9, 6) = 18. Умножим обе части уравнения на 18:
$18 \cdot \left(\frac{4x^2 + x}{3}\right) - 18 \cdot \left(\frac{x^2 + 17}{9}\right) = 18 \cdot \left(\frac{5x - 1}{6}\right)$
$6(4x^2 + x) - 2(x^2 + 17) = 3(5x - 1)$
Раскроем скобки:
$24x^2 + 6x - 2x^2 - 34 = 15x - 3$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:
$(24x^2 - 2x^2) + (6x - 15x) + (-34 + 3) = 0$
$22x^2 - 9x - 31 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=22, b=-9, c=-31$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 88 \cdot 31 = 81 + 2728 = 2809$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22}$.
$x_2 = \frac{-(-9) - 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1$.
Ответ: $\frac{31}{22}; -1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 670 расположенного на странице 169 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №670 (с. 169), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.