Номер 663, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 663, страница 169.

Условие.

663. Найдите корни уравнения:

1) $(2x - 5)(x + 2) = 18;$

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9;$

3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16;$

4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x;$

5) $(x + 7)(x - 8) - (4x + 1)(x - 2) = -21x;$

6) $(2x - 1)(2x + 1) - x(1 - x) = 2x(x + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(2x - 5)(x + 2) = 18$
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:
$2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 5 \cdot x - 5 \cdot 2 = 18$
$2x^2 + 4x - 5x - 10 = 18$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - x - 10 = 18$
Перенесем 18 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - x - 10 - 18 = 0$
$2x^2 - x - 28 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=2, b=-1, c=-28$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-28) = 1 + 224 = 225$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 15}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$
Ответ: -3.5; 4.

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(16x^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 9) + (9x^2 - 1) = 9$
$16x^2 - 24x + 9 + 9x^2 - 1 = 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(16x^2 + 9x^2) - 24x + (9 - 1) = 9$
$25x^2 - 24x + 8 = 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$25x^2 - 24x + 8 - 9 = 0$
$25x^2 - 24x - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. $a=25, b=-24, c=-1$.
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 576 + 100 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
$x_1 = \frac{-(-24) + 26}{2 \cdot 25} = \frac{24 + 26}{50} = \frac{50}{50} = 1$
$x_2 = \frac{-(-24) - 26}{2 \cdot 25} = \frac{24 - 26}{50} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25} = -0.04$
Ответ: -0.04; 1.

3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a = x + 3$ и $b = 2x - 1$.
$((x + 3) - (2x - 1))((x + 3) + (2x - 1)) = 16$
Упростим выражения в каждой скобке:
$(x + 3 - 2x + 1)(x + 3 + 2x - 1) = 16$
$(-x + 4)(3x + 2) = 16$
Раскроем скобки:
$-3x^2 - 2x + 12x + 8 = 16$
$-3x^2 + 10x + 8 = 16$
Перенесем все в левую часть:
$-3x^2 + 10x + 8 - 16 = 0$
$-3x^2 + 10x - 8 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$3x^2 - 10x + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. $a=3, b=-10, c=8$.
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
$x_1 = \frac{-(-10) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-10) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$; 2.

4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(x^2 - 12x + 36) - (2x^2 + 6x) = 30 - 12x$
$x^2 - 12x + 36 - 2x^2 - 6x = 30 - 12x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 - 18x + 36 = 30 - 12x$
Перенесем все члены из правой части в левую:
$-x^2 - 18x + 36 - 30 + 12x = 0$
$-x^2 - 6x + 6 = 0$
Умножим уравнение на -1:
$x^2 + 6x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. $a=1, b=6, c=-6$.
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$
$\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2 \cdot 1} = -3 \pm \sqrt{15}$
$x_1 = -3 + \sqrt{15}$
$x_2 = -3 - \sqrt{15}$
Ответ: $-3 - \sqrt{15}$; $-3 + \sqrt{15}$.

5) $(x + 7)(x - 8) - (4x + 1)(x - 2) = -21x$
Раскроем скобки в левой части:
$(x^2 - 8x + 7x - 56) - (4x^2 - 8x + x - 2) = -21x$
$(x^2 - x - 56) - (4x^2 - 7x - 2) = -21x$
$x^2 - x - 56 - 4x^2 + 7x + 2 = -21x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-3x^2 + 6x - 54 = -21x$
Перенесем $-21x$ в левую часть:
$-3x^2 + 6x + 21x - 54 = 0$
$-3x^2 + 27x - 54 = 0$
Разделим все уравнение на -3 для упрощения:
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 18. Подбором находим корни: $x_1=3, x_2=6$.
Проверим с помощью дискриминанта: $a=1, b=-9, c=18$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$
$\sqrt{D} = 3$.
$x_1 = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: 3; 6.

6) $(2x - 1)(2x + 1) - x(1 - x) = 2x(x + 1)$
Раскроем все скобки:
$(4x^2 - 1) - (x - x^2) = 2x^2 + 2x$
$4x^2 - 1 - x + x^2 = 2x^2 + 2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - x - 1 = 2x^2 + 2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$5x^2 - 2x^2 - x - 2x - 1 = 0$
$3x^2 - 3x - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. $a=3, b=-3, c=-1$.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 9 + 12 = 21$
$\sqrt{D} = \sqrt{21}$.
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{21}}{6}$; $\frac{3 + \sqrt{21}}{6}$.