Номер 659, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 659, страница 168.

Условие.

659. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;

2) $x^2 + 2x - 3 = 0$;

3) $x^2 + 3x - 4 = 0$;

4) $x^2 - 4x - 21 = 0$;

5) $x^2 + x - 56 = 0$;

6) $x^2 - 6x - 7 = 0$;

7) $x^2 - 8x + 12 = 0$;

8) $x^2 + 7x + 6 = 0$;

9) $-x^2 + 6x + 55 = 0$;

10) $2x^2 - 3x - 2 = 0$;

11) $2x^2 - x - 6 = 0$;

12) $3x^2 - 4x - 20 = 0$;

13) $10x^2 - 7x - 3 = 0$;

14) $-5x^2 + 7x - 2 = 0$;

15) $-6x^2 - 7x - 1 = 0$;

16) $3x^2 - 10x + 3 = 0$;

17) $-3x^2 + 7x + 6 = 0$;

18) $x^2 - 4x + 1 = 0$;

19) $2x^2 - x - 4 = 0$;

20) $x^2 - 8x + 20 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$
Ответ: 1; 3.

2) Дано уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-3$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$. $x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: -3; 1.

3) Дано уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-4$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$. $x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: -4; 1.

4) Дано уравнение $x^2 - 4x - 21 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-21$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 10}{2}$. $x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: -3; 7.

5) Дано уравнение $x^2 + x - 56 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-56$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 15}{2}$. $x_1 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $x_2 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: -8; 7.

6) Дано уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=-7$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2}$. $x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -1; 7.

7) Дано уравнение $x^2 - 8x + 12 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=12$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4}{2}$. $x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2; 6.

8) Дано уравнение $x^2 + 7x + 6 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=7$, $c=6$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 5}{2}$. $x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: -6; -1.

9) Дано уравнение $-x^2 + 6x + 55 = 0$. Умножим обе части на -1: $x^2 - 6x - 55 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=-55$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 16}{2}$. $x_1 = \frac{6 + 16}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $x_2 = \frac{6 - 16}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: -5; 11.

10) Дано уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=-3$, $c=-2$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$. $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Ответ: -0.5; 2.

11) Дано уравнение $2x^2 - x - 6 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-6$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$. $x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$
Ответ: -1.5; 2.

12) Дано уравнение $3x^2 - 4x - 20 = 0$. Коэффициенты: $a=3$, $b=-4$, $c=-20$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 16}{6}$. $x_1 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ $x_2 = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
Ответ: -2; $\frac{10}{3}$.

13) Дано уравнение $10x^2 - 7x - 3 = 0$. Коэффициенты: $a=10$, $b=-7$, $c=-3$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 49 + 120 = 169$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 10} = \frac{7 \pm 13}{20}$. $x_1 = \frac{7 + 13}{20} = \frac{20}{20} = 1$ $x_2 = \frac{7 - 13}{20} = \frac{-6}{20} = -0.3$
Ответ: -0.3; 1.

14) Дано уравнение $-5x^2 + 7x - 2 = 0$. Умножим обе части на -1: $5x^2 - 7x + 2 = 0$. Коэффициенты: $a=5$, $b=-7$, $c=2$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 3}{10}$. $x_1 = \frac{7 + 3}{10} = \frac{10}{10} = 1$ $x_2 = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$
Ответ: 0.4; 1.

15) Дано уравнение $-6x^2 - 7x - 1 = 0$. Умножим обе части на -1: $6x^2 + 7x + 1 = 0$. Коэффициенты: $a=6$, $b=7$, $c=1$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 5}{12}$. $x_1 = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$ $x_2 = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$
Ответ: -1; $-\frac{1}{6}$.

16) Дано уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=3$, $b=-10$, $c=3$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$. $x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$ $x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$; 3.

17) Дано уравнение $-3x^2 + 7x + 6 = 0$. Умножим обе части на -1: $3x^2 - 7x - 6 = 0$. Коэффициенты: $a=3$, $b=-7$, $c=-6$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 11}{6}$. $x_1 = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$ $x_2 = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$; 3.

18) Дано уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=1$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. $\sqrt{D} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. $x_1 = 2 + \sqrt{3}$, $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$; $2 + \sqrt{3}$.

19) Дано уравнение $2x^2 - x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-4$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$. $x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$; $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$.

20) Дано уравнение $x^2 - 8x + 20 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=20$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.