Номер 4, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 168.

Условие.

4. Каким алгоритмом удобно пользоваться при решении квадратных уравнений?

Решение 2.

Решение 8.

При решении квадратных уравнений наиболее универсальным и удобным является алгоритм, основанный на вычислении дискриминанта. Этот метод позволяет найти корни любого квадратного уравнения, если они существуют в действительных числах.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Приведение уравнения к стандартному виду
Любое квадратное уравнение следует привести к его канонической форме: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, при этом $a \neq 0$.

2. Вычисление дискриминанта
Дискриминант ($D$) — это специальное выражение, зависящее от коэффициентов уравнения, которое помогает определить количество и характер его корней. Формула для вычисления дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac$

3. Анализ дискриминанта и нахождение корней
В зависимости от знака дискриминанта ($D$) делается вывод о количестве корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Они вычисляются по общей формуле корней квадратного уравнения:
  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
  То есть, $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (иногда говорят о двух совпадающих корнях). Формула для его нахождения упрощается:
  $x = -\frac{b}{2a}$
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. В области комплексных чисел корни существуют, но в стандартной школьной программе принято считать, что решений нет.

Ответ: универсальный алгоритм решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ состоит в вычислении дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и последующем нахождении корней по формулам $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ если $D > 0$, или $x = -\frac{b}{2a}$ если $D=0$. Если $D < 0$, действительных корней нет.

Альтернативные (частные) методы решения

Хотя метод дискриминанта работает всегда, для некоторых частных случаев существуют более быстрые и удобные способы.

1. Решение неполных квадратных уравнений:

• Если $c=0$, уравнение принимает вид $ax^2 + bx = 0$. Его легко решить вынесением общего множителя $x$ за скобки: $x(ax+b)=0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, следовательно, $x_1 = 0$ или $ax+b=0 \implies x_2 = -\frac{b}{a}$.
• Если $b=0$, уравнение принимает вид $ax^2 + c = 0$. Выражаем $x^2$: $x^2 = -\frac{c}{a}$. Если правая часть $-\frac{c}{a} \ge 0$, то уравнение имеет два корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$. Если $-\frac{c}{a} < 0$, действительных корней нет.

2. Теорема Виета:
Этот метод особенно удобен для приведенных квадратных уравнений (где $a=1$), имеющих вид $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, если у уравнения есть корни $x_1$ и $x_2$, то для них выполняются соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
Если корни уравнения — целые числа, их часто можно легко подобрать устно, анализируя делители свободного члена $q$.

Ответ: для неполных квадратных уравнений удобно использовать разложение на множители, а для приведенных уравнений с целыми корнями — теорему Виета.