Номер 652, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 652, страница 163.

Условие.

652. Упростите выражение:

1) $10\sqrt{3}-5\sqrt{48}+2\sqrt{75};$

2) $(3\sqrt{5}-\sqrt{20})\sqrt{5};$

3) $(5-\sqrt{2})^2;$

4) $(\sqrt{18}-\sqrt{3})\sqrt{2}+0,5\sqrt{24}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75}$ необходимо привести все слагаемые к виду $k\sqrt{3}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемых $5\sqrt{48}$ и $2\sqrt{75}$.

Разложим подкоренные выражения на множители:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:

$10\sqrt{3} - 5 \cdot (4\sqrt{3}) + 2 \cdot (5\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + 10\sqrt{3}$

Сгруппируем коэффициенты при $\sqrt{3}$:

$(10 - 20 + 10)\sqrt{3} = 0 \cdot \sqrt{3} = 0$

Ответ: $0$

2) Упростим выражение $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$. Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{20}$.

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Подставим это в скобки:

$(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5}$

Выполним вычитание в скобках:

$( (3-2)\sqrt{5} )\sqrt{5} = (1\sqrt{5})\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

Используя свойство корней $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем:

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

Ответ: $5$

3) Для упрощения выражения $(5 - \sqrt{2})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.

Подставляем в формулу:

$(5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Вычисляем каждый член выражения:

$25 - 10\sqrt{2} + 2$

Складываем числовые члены:

$(25 + 2) - 10\sqrt{2} = 27 - 10\sqrt{2}$

Ответ: $27 - 10\sqrt{2}$

4) Упростим выражение $(\sqrt{18} - \sqrt{3})\sqrt{2} + 0,5\sqrt{24}$. Раскроем скобки, умножив $\sqrt{2}$ на каждый член в скобках.

$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 0,5\sqrt{24}$

Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{18 \cdot 2} - \sqrt{3 \cdot 2} + 0,5\sqrt{24} = \sqrt{36} - \sqrt{6} + 0,5\sqrt{24}$

Теперь упростим корни $\sqrt{36}$ и $\sqrt{24}$:

$\sqrt{36} = 6$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$6 - \sqrt{6} + 0,5 \cdot (2\sqrt{6})$

Выполним умножение:

$6 - \sqrt{6} + 1\sqrt{6} = 6 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Взаимно уничтожаем $-\sqrt{6}$ и $+\sqrt{6}$:

$6$

Ответ: $6$