Номер 645, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 645, страница 162.

Условие.

645. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

1) 0 и 4;

2) -1 и 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение: $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (когда свободный член $c=0$) или $ax^2 + c = 0$ (когда коэффициент при $x$ равен нулю, $b=0$).

Обозначим многочлен, который нужно подставить вместо звёздочки, как $M(x)$.

1) 0 и 4;

Если один из корней квадратного уравнения равен нулю ($x_1=0$), то его свободный член равен нулю ($c=0$). Уравнение должно иметь вид $ax^2+bx=0$.

В исходном уравнении $3x^2 - 2x + 4 + M(x) = 0$ свободный член равен $4$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен $M(x)$ должен содержать слагаемое $-4$. Также $M(x)$ может содержать слагаемое с $x$, чтобы скорректировать второй корень. Пусть $M(x) = kx - 4$.

Подставим $M(x)$ в уравнение:

$3x^2 - 2x + 4 + (kx - 4) = 0$

$3x^2 - 2x + kx + 4 - 4 = 0$

$3x^2 + (k - 2)x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Найдем его корни. Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x + k - 2) = 0$

Отсюда первый корень $x_1 = 0$, что соответствует условию.

Второй корень находим из уравнения $3x + k - 2 = 0$:

$3x = 2 - k$

$x_2 = \frac{2 - k}{3}$

По условию, второй корень равен $4$. Приравняем:

$\frac{2 - k}{3} = 4$

$2 - k = 12$

$k = 2 - 12 = -10$

Теперь найдем искомый многочлен $M(x) = kx - 4$:

$M(x) = -10x - 4$

Ответ: $-10x - 4$

2) –1 и 1?

Если корни квадратного уравнения являются противоположными числами ($x_1 = -x_2$), то это уравнение вида $ax^2 + c = 0$. В нём коэффициент при первой степени $x$ равен нулю ($b=0$).

В исходном уравнении $3x^2 - 2x + 4 + M(x) = 0$ коэффициент при $x$ равен $-2$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен $M(x)$ должен содержать слагаемое $2x$. Также $M(x)$ может содержать константу для корректировки свободного члена. Пусть $M(x) = 2x + k$.

Подставим $M(x)$ в уравнение:

$3x^2 - 2x + 4 + (2x + k) = 0$

$3x^2 - 2x + 2x + 4 + k = 0$

$3x^2 + (4 + k) = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $k$, подставим в него один из корней, например $x = 1$:

$3(1)^2 + 4 + k = 0$

$3 + 4 + k = 0$

$7 + k = 0$

$k = -7$

Теперь найдем искомый многочлен $M(x) = 2x + k$:

$M(x) = 2x - 7$

Ответ: $2x - 7$