Номер 638, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 638, страница 162.

Условие.

638. Решите уравнение, выделив в его левой части квадрат двучлена:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;

2) $x^2 + 6x - 7 = 0$;

3) $x^2 + 8x + 20 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Чтобы решить уравнение методом выделения полного квадрата, представим левую часть в виде $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем уравнении $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Слагаемое $-4x$ является удвоенным произведением $-2ab$. То есть, $-2 \cdot x \cdot b = -4x$, откуда находим, что $b=2$.

Для получения полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4 в левой части уравнения, чтобы его значение не изменилось:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = 0$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом:

$(x - 2)^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 2 = 1$ или $x - 2 = -1$

Найдем корни:

$x_1 = 1 + 2 = 3$

$x_2 = -1 + 2 = 1$

Ответ: $1; 3$.

2) $x^2 + 6x - 7 = 0$

Выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Слагаемое $6x$ — это удвоенное произведение $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 6x$, откуда $b=3$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9 в левой части:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 - 7 = 0$

Свернем выражение в скобках в полный квадрат:

$(x + 3)^2 - 16 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x + 3)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$

Найдем корни:

$x_1 = 4 - 3 = 1$

$x_2 = -4 - 3 = -7$

Ответ: $-7; 1$.

3) $x^2 + 8x + 20 = 0$

Выделим квадрат двучлена по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$. Тогда удвоенное произведение $2ab = 8x$, откуда $b=4$.

Для полного квадрата необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16:

$(x^2 + 8x + 16) - 16 + 20 = 0$

Свернем полный квадрат и упростим выражение:

$(x + 4)^2 + 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x + 4)^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(x+4)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+4)^2 \ge 0$. Следовательно, уравнение не может равняться -4.

Ответ: корней нет.