Номер 632, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 632, страница 161.
№632 (с. 161)
Условие. №632 (с. 161)
скриншот условия

632. Докажите, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2-4x+1=0.$
Решение 1. №632 (с. 161)

Решение 2. №632 (с. 161)

Решение 3. №632 (с. 161)

Решение 4. №632 (с. 161)

Решение 5. №632 (с. 161)

Решение 6. №632 (с. 161)

Решение 7. №632 (с. 161)

Решение 8. №632 (с. 161)
Чтобы доказать, что указанные числа являются корнями уравнения, можно воспользоваться одним из двух способов: прямой подстановкой или теоремой Виета. Рассмотрим оба.
Способ 1. Прямая подстановка
Подставим поочередно каждое число в уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$ и проверим, обращается ли левая часть в ноль.
Проверка числа $2-\sqrt{3}$
Подставляем $x = 2-\sqrt{3}$:
$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1 = 0$
Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, раскрываем скобки:
$(2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (8 - 4\sqrt{3}) + 1 = 0$
$(4 - 4\sqrt{3} + 3) - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$
$7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$
Группируем слагаемые: $(7 - 8 + 1) + (-4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 0$
$0 + 0 = 0$
Получено верное равенство, значит, число $2-\sqrt{3}$ является корнем уравнения.
Ответ: Доказано, что число $2-\sqrt{3}$ является корнем уравнения.
Проверка числа $2+\sqrt{3}$
Подставляем $x = 2+\sqrt{3}$:
$(2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 1 = 0$
Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскрываем скобки:
$(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (8 + 4\sqrt{3}) + 1 = 0$
$(4 + 4\sqrt{3} + 3) - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$
$7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$
Группируем слагаемые: $(7 - 8 + 1) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = 0$
$0 + 0 = 0$
Получено верное равенство, значит, число $2+\sqrt{3}$ является корнем уравнения.
Ответ: Доказано, что число $2+\sqrt{3}$ является корнем уравнения.
Способ 2. Использование обратной теоремы Виета
Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ обратная теорема Виета гласит: если сумма чисел $x_1$ и $x_2$ равна $-p$, а их произведение равно $q$, то эти числа являются корнями данного уравнения.
Для нашего уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ коэффициенты равны $p = -4$ и $q = 1$.
Следовательно, мы должны проверить, что:
- Сумма чисел равна $-p = -(-4) = 4$.
- Произведение чисел равно $q = 1$.
Найдем сумму и произведение чисел $x_1 = 2-\sqrt{3}$ и $x_2 = 2+\sqrt{3}$.
Сумма: $x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4$.
Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Оба условия выполняются. Следовательно, по обратной теореме Виета числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.
Ответ: Доказано, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются корнями заданного уравнения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 632 расположенного на странице 161 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №632 (с. 161), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.