Номер 632, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 632, страница 161.

Условие.

632. Докажите, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2-4x+1=0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что указанные числа являются корнями уравнения, можно воспользоваться одним из двух способов: прямой подстановкой или теоремой Виета. Рассмотрим оба.

Способ 1. Прямая подстановка

Подставим поочередно каждое число в уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$ и проверим, обращается ли левая часть в ноль.

Проверка числа $2-\sqrt{3}$

Подставляем $x = 2-\sqrt{3}$:

$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1 = 0$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, раскрываем скобки:

$(2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (8 - 4\sqrt{3}) + 1 = 0$

$(4 - 4\sqrt{3} + 3) - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$

$7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$

Группируем слагаемые: $(7 - 8 + 1) + (-4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 0$

$0 + 0 = 0$

Получено верное равенство, значит, число $2-\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Ответ: Доказано, что число $2-\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Проверка числа $2+\sqrt{3}$

Подставляем $x = 2+\sqrt{3}$:

$(2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 1 = 0$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскрываем скобки:

$(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (8 + 4\sqrt{3}) + 1 = 0$

$(4 + 4\sqrt{3} + 3) - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$

$7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$

Группируем слагаемые: $(7 - 8 + 1) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = 0$

$0 + 0 = 0$

Получено верное равенство, значит, число $2+\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Ответ: Доказано, что число $2+\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Способ 2. Использование обратной теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ обратная теорема Виета гласит: если сумма чисел $x_1$ и $x_2$ равна $-p$, а их произведение равно $q$, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Для нашего уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ коэффициенты равны $p = -4$ и $q = 1$.

Следовательно, мы должны проверить, что:

• Сумма чисел равна $-p = -(-4) = 4$.
• Произведение чисел равно $q = 1$.

Найдем сумму и произведение чисел $x_1 = 2-\sqrt{3}$ и $x_2 = 2+\sqrt{3}$.

Сумма: $x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Оба условия выполняются. Следовательно, по обратной теореме Виета числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Ответ: Доказано, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются корнями заданного уравнения.