Номер 634, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 634, страница 161.

Условие.

634. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2+x}{7} - \frac{x}{3} = 0;$

2) $\frac{x^2+1}{6} - \frac{x^2+2}{4} = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} = 0$.

Чтобы избавиться от знаменателей, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 7 и 3 равно 21. Умножим обе части уравнения на 21:

$21 \cdot \left( \frac{x^2 + x}{7} \right) - 21 \cdot \left( \frac{x}{3} \right) = 21 \cdot 0$

$3(x^2 + x) - 7x = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x^2 + 3x - 7x = 0$

$3x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

1. $x_1 = 0$

2. $3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Уравнение имеет два корня: 0 и $\frac{4}{3}$.

Ответ: $0; \frac{4}{3}$.

2)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} = -1$.

Для решения этого уравнения также избавимся от дробей. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4. Это число 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \left( \frac{x^2 + 1}{6} \right) - 12 \cdot \left( \frac{x^2 + 2}{4} \right) = 12 \cdot (-1)$

$2(x^2 + 1) - 3(x^2 + 2) = -12$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью.

$2x^2 + 2 - 3x^2 - 6 = -12$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2x^2 - 3x^2) + (2 - 6) = -12$

$-x^2 - 4 = -12$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x^2$. Перенесем -4 в правую часть:

$-x^2 = -12 + 4$

$-x^2 = -8$

Умножим обе части на -1:

$x^2 = 8$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $2\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm2\sqrt{2}$.