Номер 640, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 640, страница 162.

Условие.

640. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $n$. Тогда большее число равно $n+1$.

Сумма их квадратов выражается формулой $n^2 + (n+1)^2$.

Удвоенное большее из этих чисел равно $2(n+1)$.

Согласно условию, сумма квадратов на 17 больше, чем удвоенное большее число. Составим уравнение на основе этого условия:

$n^2 + (n+1)^2 = 2(n+1) + 17$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n + 2 + 17$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$2n^2 + 2n + 1 = 2n + 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2n^2 + 2n - 2n + 1 - 19 = 0$

$2n^2 - 18 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его:

$2n^2 = 18$

$n^2 = 9$

Уравнение имеет два корня: $n_1 = 3$ и $n_2 = -3$.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Меньшее число $n = 3$.
Тогда большее число равно $n + 1 = 3 + 1 = 4$.
Искомая пара чисел: 3 и 4.
Проверка: Сумма квадратов $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Удвоенное большее число $2 \cdot 4 = 8$. Разница $25 - 8 = 17$, что соответствует условию.

Случай 2: Меньшее число $n = -3$.
Тогда большее число равно $n + 1 = -3 + 1 = -2$.
Искомая пара чисел: -3 и -2.
Проверка: Сумма квадратов $(-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$. Удвоенное большее число $2 \cdot (-2) = -4$. Разница $13 - (-4) = 13 + 4 = 17$, что также соответствует условию.

Ответ: 3 и 4; или -3 и -2.