Номер 646, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 646, страница 162.

Условие.

646. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении $x^2 + 5x - 1 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

1) 0; -7;

2) -4; 4?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) 0; -7;

Если один из корней квадратного уравнения равен нулю, а другой отличен от нуля, то это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+bx=0$, у которого свободный член равен нулю. В исходном уравнении $x^2+5x-1+*=0$ свободный член равен $-1$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен, заменяющий звёздочку, должен иметь вид $kx+1$. Подставим его в уравнение: $x^2+5x-1+(kx+1)=0$ $x^2+(5+k)x=0$ Корни этого уравнения $x_1=0$ и $x_2=-(5+k)$. По условию, второй корень равен $-7$. $-(5+k)=-7$ $5+k=7$ $k=2$ Следовательно, искомый многочлен — это $2x+1$.

Ответ: $2x+1$.

2) -4; 4?

Если корни квадратного уравнения являются противоположными числами (и не равны нулю), то это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$, у которого коэффициент при первой степени $x$ равен нулю. В исходном уравнении $x^2+5x-1+*=0$ коэффициент при $x$ равен $5$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен, заменяющий звёздочку, должен иметь вид $-5x+d$. Подставим его в уравнение: $x^2+5x-1+(-5x+d)=0$ $x^2-1+d=0$ $x^2=1-d$ Корни этого уравнения $x=\pm\sqrt{1-d}$. По условию, корни равны $\pm4$. $\sqrt{1-d}=4$ $1-d=16$ $d=-15$ Следовательно, искомый многочлен — это $-5x-15$.

Ответ: $-5x-15$.