Номер 650, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 650, страница 163.

Условие.

650. Определите, при каком значении a один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:

1) $x^2 + ax + a - 4 = 0;$

2) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0;$

3) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был равен 0, необходимо и достаточно, чтобы его свободный член (слагаемое без переменной $x$) был равен нулю. Если квадратное уравнение имеет вид $Ax^2 + Bx + C = 0$ и один из его корней $x_1 = 0$, то при подстановке этого значения в уравнение получаем: $A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C = 0$, что упрощается до $C=0$.

Найдя значение параметра $a$, при котором свободный член равен нулю, мы подставляем его обратно в исходное уравнение. Уравнение приобретает вид $Ax^2 + Bx = 0$. Его можно решить, вынеся $x$ за скобки: $x(Ax + B) = 0$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и второй корень $x_2 = -B/A$.

1) $x^2 + ax + a - 4 = 0$

Свободный член этого уравнения равен $a-4$. Приравняем его к нулю, чтобы один из корней был равен 0:

$a - 4 = 0$

Отсюда находим значение $a$:

$a = 4$

Теперь подставим найденное значение $a = 4$ в исходное уравнение:

$x^2 + 4x + (4 - 4) = 0$

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки для нахождения корней:

$x(x + 4) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Ответ: при $a=4$ второй корень равен $-4$.

2) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0$

Свободный член этого уравнения равен $a^2 + a$. Приравняем его к нулю:

$a^2 + a = 0$

Вынесем $a$ за скобки:

$a(a + 1) = 0$

Это уравнение имеет два решения для $a$: $a_1 = 0$ и $a_2 = -1$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $a = 0$

Подставляем $a = 0$ в исходное уравнение:

$4x^2 + (0 - 8)x + 0^2 + 0 = 0$

$4x^2 - 8x = 0$

Вынесем $4x$ за скобки:

$4x(x - 2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Второй корень равен 2.

Случай 2: $a = -1$

Подставляем $a = -1$ в исходное уравнение:

$4x^2 + (-1 - 8)x + (-1)^2 + (-1) = 0$

$4x^2 - 9x + 1 - 1 = 0$

$4x^2 - 9x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(4x - 9) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9/4$. Второй корень равен $9/4$.

Ответ: при $a=0$ второй корень равен 2; при $a=-1$ второй корень равен $9/4$.

3) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0$

Это уравнение является квадратным только при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Приравняем свободный член $a^2 - 3a$ к нулю:

$a^2 - 3a = 0$

Вынесем $a$ за скобки:

$a(a - 3) = 0$

Получаем два возможных значения: $a_1 = 0$ и $a_2 = 3$.

Как было отмечено, значение $a=0$ не подходит, так как при нем уравнение перестает быть квадратным. Оно принимает вид $3x=0$ и имеет только один корень $x=0$.

Следовательно, рассматриваем только случай $a=3$.

Подставим $a = 3$ в исходное уравнение:

$3x^2 + (3 + 3)x + 3^2 - 3 \cdot 3 = 0$

$3x^2 + 6x + 9 - 9 = 0$

$3x^2 + 6x = 0$

Вынесем $3x$ за скобки:

$3x(x + 2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Второй корень равен -2.

Ответ: при $a=3$ второй корень равен $-2$.