Номер 644, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 644, страница 162.

Условие.

644. Имеет ли корни неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:

1) $a > 0, c > 0$;

2) $a < 0, c > 0$;

3) $a > 0, c < 0$;

4) $a < 0, c < 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы определить, имеет ли неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$ корни, выразим из него $x^2$.

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда значение выражения в правой части неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, для наличия корней должно выполняться условие:

$-\frac{c}{a} \ge 0$

Умножив обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства на противоположный:

$\frac{c}{a} \le 0$

Это неравенство справедливо, если $c=0$ или если коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки. Если знаки $a$ и $c$ одинаковы, то $\frac{c}{a} > 0$, и действительных корней у уравнения не будет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

1) a > 0, c > 0;

В этом случае оба коэффициента, $a$ и $c$, положительны. Они имеют одинаковые знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет положительным: $\frac{c}{a} > 0$. Это противоречит условию $\frac{c}{a} \le 0$. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

2) a < 0, c > 0;

Здесь коэффициент $a$ отрицателен, а $c$ положителен. Они имеют противоположные знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным: $\frac{c}{a} < 0$. Это удовлетворяет условию $\frac{c}{a} \le 0$. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным, и уравнение будет иметь два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

3) a > 0, c < 0;

Коэффициент $a$ положителен, а $c$ отрицателен. Они имеют противоположные знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным: $\frac{c}{a} < 0$. Условие $\frac{c}{a} \le 0$ выполняется. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным, и уравнение будет иметь два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

4) a < 0, c < 0?

В этом случае оба коэффициента, $a$ и $c$, отрицательны. Они имеют одинаковые знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел): $\frac{c}{a} > 0$. Это противоречит условию $\frac{c}{a} \le 0$. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.