Номер 647, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 647, страница 162.

Условие.

647. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3|x| = 0;$

2) $x^2 + |x| - 2x = 0;$

3) $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0;$

4) $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Заданное уравнение: $x^2 - 3|x| = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать уравнение в виде: $|x|^2 - 3|x| = 0$.
Вынесем $|x|$ за скобки: $|x|(|x| - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $|x| = 0$, откуда $x = 0$.
2. $|x| - 3 = 0$, откуда $|x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: -3; 0; 3.

2) Заданное уравнение: $x^2 + |x| - 2x = 0$.
Для решения этого уравнения рассмотрим два случая, в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 + x - 2x = 0$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - x - 2x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 3$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя решения из первого случая, получаем итоговые корни уравнения.
Ответ: 0; 1.

3) Заданное уравнение: $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > 0$. При $x > 0$ имеем $|x| = x$, тогда дробь $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x = 1$.
Случай 2: $x < 0$. При $x < 0$ имеем $|x| = -x$, тогда дробь $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - (-1) = 0$
$x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1.

4) Заданное уравнение: $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение:
$|x|^2 - \frac{2|x|^2}{|x|} = 0$.
Поскольку по ОДЗ $x \ne 0$, то и $|x| \ne 0$, мы можем сократить дробь на $|x|$: $|x|^2 - 2|x| = 0$.
Вынесем $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 2) = 0$.
Получаем два случая:
1. $|x| = 0$, откуда $x = 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$), поэтому он является посторонним.
2. $|x| - 2 = 0$, откуда $|x| = 2$. Это уравнение имеет два корня: $x = 2$ и $x = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Следовательно, у уравнения два корня.
Ответ: -2; 2.