Номер 649, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 649, страница 163.

Условие.

649. При каком значении a уравнение $ (a - 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0 $ является:

1) линейным;

2) приведённым квадратным;

3) неполным неприведённым квадратным;

4) неполным приведённым квадратным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Проанализируем данное уравнение $(a-2)x^2 + (2a-1)x + a^2 - 4 = 0$. Это уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$, где коэффициенты $A$, $B$ и $C$ зависят от параметра $a$: $A = a-2$, $B = 2a-1$, $C = a^2-4$. Рассмотрим каждый из требуемых случаев.

1) линейным;

Уравнение является линейным, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю. Это соответствует системе условий:
$A = 0$
$B \neq 0$
Решим первое уравнение: $a - 2 = 0 \implies a = 2$.
Теперь подставим это значение $a$ во второе условие, чтобы проверить его:
$B = 2a - 1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$.
Так как $B = 3 \neq 0$, условие выполняется. При $a=2$ уравнение принимает вид $3x = 0$, что является линейным уравнением.
Ответ: при $a=2$.

2) приведённым квадратным;

Квадратное уравнение называется приведённым, если его старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) равен единице.
Требуется выполнение условия: $A=1$.
$a - 2 = 1 \implies a = 3$.
При $a=3$ коэффициент $A=1$, и уравнение является приведённым квадратным: $x^2 + 5x + 5 = 0$.
Ответ: при $a=3$.

3) неполным неприведённым квадратным;

Квадратное уравнение является неприведённым, если его старший коэффициент не равен нулю и не равен единице ($A \neq 0$ и $A \neq 1$). Уравнение является неполным, если хотя бы один из коэффициентов $B$ или $C$ равен нулю ($B=0$ или $C=0$).
Таким образом, мы ищем значения $a$, для которых $a \neq 2$, $a \neq 3$ и выполняется $2a-1=0$ или $a^2-4=0$.
Рассмотрим два случая:
1. $B = 2a - 1 = 0 \implies a = 0.5$.
Проверим это значение. $a=0.5$ не равно 2 и не равно 3. Коэффициент $A = 0.5 - 2 = -1.5$. Так как $A \neq 0$ и $A \neq 1$, данное значение $a$ подходит.
2. $C = a^2 - 4 = 0 \implies (a-2)(a+2) = 0$, откуда $a = 2$ или $a = -2$.
- Значение $a=2$ не подходит, так как при нём $A=0$ и уравнение становится линейным, а не квадратным.
- Проверим значение $a=-2$. Оно не равно 2 и не равно 3. Коэффициент $A = -2 - 2 = -4$. Так как $A \neq 0$ и $A \neq 1$, данное значение $a$ подходит.
Следовательно, уравнение является неполным неприведённым квадратным при двух значениях параметра.
Ответ: при $a=0.5$ или $a=-2$.

4) неполным приведённым квадратным?

Уравнение является неполным приведённым квадратным, если оно одновременно приведённое ($A=1$) и неполное ($B=0$ или $C=0$).
Из пункта 2 мы знаем, что условие $A=1$ выполняется только при $a=3$.
Проверим, является ли уравнение неполным при $a=3$. Для этого вычислим значения коэффициентов $B$ и $C$ при $a=3$:
$B = 2a - 1 = 2(3) - 1 = 5$.
$C = a^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.
Поскольку при $a=3$ ни $B$, ни $C$ не равны нулю, уравнение является полным приведённым квадратным ($x^2 + 5x + 5 = 0$), а не неполным.
Таким образом, не существует такого значения $a$, при котором уравнение было бы неполным приведённым квадратным.
Ответ: таких значений $a$ не существует.