Страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

648. Решите уравнение:

1) $x^2 - 7|x| = 0;$

2) $x^2 - 6|x| + x = 0;$

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0.$

1) $x^2 - 7|x| = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Для его решения воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$. Заменим $x^2$ на $|x|^2$ в исходном уравнении:

$|x|^2 - 7|x| = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю:

$|x| = 0$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

2. Второй множитель равен нулю:

$|x| - 7 = 0$

$|x| = 7$

Это уравнение имеет два корня: $x = 7$ и $x = -7$.

Объединив все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $-7; 0; 7$.

2) $x^2 - 6|x| + x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

При этом условии $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 - 6x + x = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Оба значения удовлетворяют условию $x \ge 0$, следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Случай 2: $x < 0$.

При этом условии $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 - 6(-x) + x = 0$

$x^2 + 6x + x = 0$

$x^2 + 7x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 7) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -7$. Значение $x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому оно не является решением в данном случае. Значение $x_4 = -7$ удовлетворяет условию $x < 0$ и является решением.

Объединяя все решения, полученные в обоих случаях, получаем полный набор корней.

Ответ: $-7; 0; 5$.

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.

Упростим дробь, используя свойство $x^2 = |x|^2$:

$\frac{x^2}{|x|} = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:

$2x^2 - 3|x| = 0$

Снова заменим $x^2$ на $|x|^2$:

$2|x|^2 - 3|x| = 0$

Вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(2|x| - 3) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $|x| = 0$, что дает $x=0$. Однако это значение не входит в ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому оно не является корнем уравнения.

2. $2|x| - 3 = 0$, откуда $2|x| = 3$, то есть $|x| = \frac{3}{2}$.

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}$.

649. При каком значении a уравнение $ (a - 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0 $ является:

1) линейным;

2) приведённым квадратным;

3) неполным неприведённым квадратным;

4) неполным приведённым квадратным?

Проанализируем данное уравнение $(a-2)x^2 + (2a-1)x + a^2 - 4 = 0$. Это уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$, где коэффициенты $A$, $B$ и $C$ зависят от параметра $a$: $A = a-2$, $B = 2a-1$, $C = a^2-4$. Рассмотрим каждый из требуемых случаев.

1) линейным;

Уравнение является линейным, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю. Это соответствует системе условий:
$A = 0$
$B \neq 0$
Решим первое уравнение: $a - 2 = 0 \implies a = 2$.
Теперь подставим это значение $a$ во второе условие, чтобы проверить его:
$B = 2a - 1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$.
Так как $B = 3 \neq 0$, условие выполняется. При $a=2$ уравнение принимает вид $3x = 0$, что является линейным уравнением.
Ответ: при $a=2$.

2) приведённым квадратным;

Квадратное уравнение называется приведённым, если его старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) равен единице.
Требуется выполнение условия: $A=1$.
$a - 2 = 1 \implies a = 3$.
При $a=3$ коэффициент $A=1$, и уравнение является приведённым квадратным: $x^2 + 5x + 5 = 0$.
Ответ: при $a=3$.

3) неполным неприведённым квадратным;

Квадратное уравнение является неприведённым, если его старший коэффициент не равен нулю и не равен единице ($A \neq 0$ и $A \neq 1$). Уравнение является неполным, если хотя бы один из коэффициентов $B$ или $C$ равен нулю ($B=0$ или $C=0$).
Таким образом, мы ищем значения $a$, для которых $a \neq 2$, $a \neq 3$ и выполняется $2a-1=0$ или $a^2-4=0$.
Рассмотрим два случая:
1. $B = 2a - 1 = 0 \implies a = 0.5$.
Проверим это значение. $a=0.5$ не равно 2 и не равно 3. Коэффициент $A = 0.5 - 2 = -1.5$. Так как $A \neq 0$ и $A \neq 1$, данное значение $a$ подходит.
2. $C = a^2 - 4 = 0 \implies (a-2)(a+2) = 0$, откуда $a = 2$ или $a = -2$.
- Значение $a=2$ не подходит, так как при нём $A=0$ и уравнение становится линейным, а не квадратным.
- Проверим значение $a=-2$. Оно не равно 2 и не равно 3. Коэффициент $A = -2 - 2 = -4$. Так как $A \neq 0$ и $A \neq 1$, данное значение $a$ подходит.
Следовательно, уравнение является неполным неприведённым квадратным при двух значениях параметра.
Ответ: при $a=0.5$ или $a=-2$.

4) неполным приведённым квадратным?

Уравнение является неполным приведённым квадратным, если оно одновременно приведённое ($A=1$) и неполное ($B=0$ или $C=0$).
Из пункта 2 мы знаем, что условие $A=1$ выполняется только при $a=3$.
Проверим, является ли уравнение неполным при $a=3$. Для этого вычислим значения коэффициентов $B$ и $C$ при $a=3$:
$B = 2a - 1 = 2(3) - 1 = 5$.
$C = a^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.
Поскольку при $a=3$ ни $B$, ни $C$ не равны нулю, уравнение является полным приведённым квадратным ($x^2 + 5x + 5 = 0$), а не неполным.
Таким образом, не существует такого значения $a$, при котором уравнение было бы неполным приведённым квадратным.
Ответ: таких значений $a$ не существует.

650. Определите, при каком значении a один из корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:

1) $x^2 + ax + a - 4 = 0;$

2) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0;$

3) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0.$

Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был равен 0, необходимо и достаточно, чтобы его свободный член (слагаемое без переменной $x$) был равен нулю. Если квадратное уравнение имеет вид $Ax^2 + Bx + C = 0$ и один из его корней $x_1 = 0$, то при подстановке этого значения в уравнение получаем: $A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C = 0$, что упрощается до $C=0$.

Найдя значение параметра $a$, при котором свободный член равен нулю, мы подставляем его обратно в исходное уравнение. Уравнение приобретает вид $Ax^2 + Bx = 0$. Его можно решить, вынеся $x$ за скобки: $x(Ax + B) = 0$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и второй корень $x_2 = -B/A$.

651. Выполните действия:

1) $ \frac{3 - 2a}{2a} - \frac{1 - a^2}{a^2} $;

2) $ \frac{a^2 - 6b^2}{3b} + 2b $;

3) $ \frac{4}{c^2 - 4c} - \frac{c + 4}{c^2 - 16} $;

4) $ \frac{56a^5}{b^4} \cdot \frac{b^2}{14b^5} $;

5) $ \frac{72a^3b}{c} : (27a^2b) $;

6) $ \frac{4a^2 - 1}{a^2 - 9} : \frac{10a + 5}{a + 3} $.

1) $\frac{3-2a}{2a} - \frac{1-a^2}{a^2}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $2a$ и $a^2$ равен $2a^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{2a^2}{2a} = a$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{2a^2}{a^2} = 2$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{a(3-2a)}{2a^2} - \frac{2(1-a^2)}{2a^2} = \frac{a(3-2a) - 2(1-a^2)}{2a^2} = \frac{3a - 2a^2 - 2 + 2a^2}{2a^2}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a - 2}{2a^2}$

Ответ: $\frac{3a-2}{2a^2}$

2) $\frac{a^2-6b^2}{3b} + 2b$

Представим $2b$ в виде дроби со знаменателем $3b$:

$2b = \frac{2b \cdot 3b}{3b} = \frac{6b^2}{3b}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{a^2-6b^2}{3b} + \frac{6b^2}{3b} = \frac{a^2-6b^2+6b^2}{3b}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2}{3b}$

Ответ: $\frac{a^2}{3b}$

3) $\frac{4}{c^2-4c} - \frac{c+4}{c^2-16}$

Разложим знаменатели на множители:

$c^2-4c = c(c-4)$

$c^2-16 = (c-4)(c+4)$ (по формуле разности квадратов)

Общий знаменатель: $c(c-4)(c+4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $c+4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $c$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{4(c+4)}{c(c-4)(c+4)} - \frac{c(c+4)}{c(c-4)(c+4)} = \frac{4(c+4)-c(c+4)}{c(c-4)(c+4)} = \frac{4c+16-c^2-4c}{c(c-4)(c+4)}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{16-c^2}{c(c-4)(c+4)}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $16-c^2 = (4-c)(4+c)$.

$\frac{(4-c)(4+c)}{c(c-4)(c+4)}$

Заметим, что $(4-c) = -(c-4)$. Сократим дробь:

$\frac{-(c-4)(c+4)}{c(c-4)(c+4)} = -\frac{1}{c}$

Ответ: $-\frac{1}{c}$

4) $\frac{56a^5}{b^4} \cdot \frac{b^2}{14b^5}$

Выполним умножение дробей:

$\frac{56a^5 b^2}{14b^4 b^5} = \frac{56a^5 b^2}{14b^{4+5}} = \frac{56a^5 b^2}{14b^9}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{56}{14} = 4$.

Сократим степени переменной $b$: $\frac{b^2}{b^9} = b^{2-9} = b^{-7} = \frac{1}{b^7}$.

В результате получаем:

$\frac{4a^5}{b^7}$

Ответ: $\frac{4a^5}{b^7}$

5) $\frac{72a^3b}{c} : (27a^2b)$

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на выражение, обратное делителю:

$\frac{72a^3b}{c} \cdot \frac{1}{27a^2b} = \frac{72a^3b}{27a^2bc}$

Сократим числовые коэффициенты на их наибольший общий делитель, равный 9: $\frac{72}{27} = \frac{8}{3}$.

Сократим степени переменных: $\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a$ и $\frac{b}{b} = 1$.

В результате получаем:

$\frac{8a}{3c}$

Ответ: $\frac{8a}{3c}$

6) $\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{10a+5}{a+3}$

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{4a^2-1}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{10a+5}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$ (разность квадратов)

$a^2-9 = (a-3)(a+3)$ (разность квадратов)

$10a+5 = 5(2a+1)$ (вынесение общего множителя)

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{5(2a+1)}$

Сократим общие множители $(2a+1)$ и $(a+3)$:

$\frac{2a-1}{a-3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2a-1}{5(a-3)}$

Ответ: $\frac{2a-1}{5(a-3)}$

652. Упростите выражение:

1) $10\sqrt{3}-5\sqrt{48}+2\sqrt{75};$

2) $(3\sqrt{5}-\sqrt{20})\sqrt{5};$

3) $(5-\sqrt{2})^2;$

4) $(\sqrt{18}-\sqrt{3})\sqrt{2}+0,5\sqrt{24}.$

1) Для упрощения выражения $10\sqrt{3} - 5\sqrt{48} + 2\sqrt{75}$ необходимо привести все слагаемые к виду $k\sqrt{3}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемых $5\sqrt{48}$ и $2\sqrt{75}$.

Разложим подкоренные выражения на множители:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:

$10\sqrt{3} - 5 \cdot (4\sqrt{3}) + 2 \cdot (5\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + 10\sqrt{3}$

Сгруппируем коэффициенты при $\sqrt{3}$:

$(10 - 20 + 10)\sqrt{3} = 0 \cdot \sqrt{3} = 0$

Ответ: $0$

2) Упростим выражение $(3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}$. Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{20}$.

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Подставим это в скобки:

$(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5}$

Выполним вычитание в скобках:

$( (3-2)\sqrt{5} )\sqrt{5} = (1\sqrt{5})\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

Используя свойство корней $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем:

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

Ответ: $5$

3) Для упрощения выражения $(5 - \sqrt{2})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.

Подставляем в формулу:

$(5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Вычисляем каждый член выражения:

$25 - 10\sqrt{2} + 2$

Складываем числовые члены:

$(25 + 2) - 10\sqrt{2} = 27 - 10\sqrt{2}$

Ответ: $27 - 10\sqrt{2}$

4) Упростим выражение $(\sqrt{18} - \sqrt{3})\sqrt{2} + 0,5\sqrt{24}$. Раскроем скобки, умножив $\sqrt{2}$ на каждый член в скобках.

$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 0,5\sqrt{24}$

Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{18 \cdot 2} - \sqrt{3 \cdot 2} + 0,5\sqrt{24} = \sqrt{36} - \sqrt{6} + 0,5\sqrt{24}$

Теперь упростим корни $\sqrt{36}$ и $\sqrt{24}$:

$\sqrt{36} = 6$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$6 - \sqrt{6} + 0,5 \cdot (2\sqrt{6})$

Выполним умножение:

$6 - \sqrt{6} + 1\sqrt{6} = 6 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Взаимно уничтожаем $-\sqrt{6}$ и $+\sqrt{6}$:

$6$

Ответ: $6$

653. Какой из графиков, представленных на рисунке 42, является графиком функции:

1) $y = x^2$;

2) $y = 2x$;

3) $y = \frac{x}{2}$;

4) $y = \frac{2}{x}$?

Рис. 42

a

б

в

г

Чтобы определить, какой график соответствует каждой функции, необходимо проанализировать вид каждой функции и ее ключевые свойства, а затем сопоставить их с представленными графиками.

1) $y = x^2$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, так как при $x=0$, значение $y=0^2=0$. Проверим несколько контрольных точек: если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$; если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. График должен проходить через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Этим условиям соответствует график б.

Ответ: б.

2) $y = 2x$

Это линейная функция вида $y = kx$, где угловой коэффициент $k=2$. Ее график — прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей. Для построения прямой найдем еще одну точку: если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$. Этим условиям соответствует график а.

Ответ: а.

3) $y = \frac{x}{2}$

Это также линейная функция, которую можно записать как $y = \frac{1}{2}x$. Ее график — прямая, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей. Найдем еще одну точку: если $x = 2$, то $y = \frac{2}{2} = 1$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$. Этим условиям соответствует график г.

Ответ: г.

4) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Поскольку коэффициент $k=2$ (положительный), ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Проверим контрольные точки: если $x = 1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$; если $x = 2$, то $y = \frac{2}{2} = 1$; если $x = -1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$. График проходит через точки $(1, 2)$, $(2, 1)$ и $(-1, -2)$. Этим условиям соответствует график в.

Ответ: в.

654. Ученик задумал двузначное число. Если каждую цифру этого числа увеличить на 2, то полученное число будет на 13 меньше удвоенного задуманного числа. Какое число было задумано?

Для решения задачи введем переменные. Пусть задуманное двузначное число имеет $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда само число можно записать в виде $10x + y$. Здесь $x$ – целое число от 1 до 9, а $y$ – целое число от 0 до 9.

Согласно условию, каждую цифру этого числа увеличили на 2. Новая цифра десятков стала $x + 2$, а новая цифра единиц – $y + 2$. Новое число, составленное из этих цифр, будет равно $10(x + 2) + (y + 2)$.

В задаче сказано, что полученное число на 13 меньше удвоенного задуманного числа. Удвоенное задуманное число равно $2(10x + y)$. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$10(x + 2) + (y + 2) = 2(10x + y) - 13$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в обеих частях:

$10x + 20 + y + 2 = 20x + 2y - 13$

Упростим левую часть:

$10x + y + 22 = 20x + 2y - 13$

Перенесем слагаемые с переменными $x$ и $y$ в правую часть, а числовые значения – в левую, чтобы найти связь между ними:

$22 + 13 = 20x - 10x + 2y - y$

Выполним вычисления:

$35 = 10x + y$

Выражение $10x + y$ по нашему первоначальному определению и есть искомое двузначное число. Таким образом, задуманное число равно 35.

Выполним проверку:

Задуманное число – 35.
Увеличим каждую его цифру на 2: из цифры 3 получаем $3+2=5$, из цифры 5 получаем $5+2=7$. Новое число – 57.
Удвоенное задуманное число: $2 \times 35 = 70$.
Число, которое на 13 меньше удвоенного задуманного: $70 - 13 = 57$.
Результаты совпали (57 = 57), следовательно, задача решена верно.

Ответ: 35.