Страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

623. Какие из чисел 1; 0; -3; 2; -10 являются корнями уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$?

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$, необходимо подставить каждое из этих чисел вместо $x$ в уравнение. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство, то есть левая часть уравнения станет равна нулю, то число является корнем уравнения.

Проверим число 1

Подставим $x=1$ в уравнение:

$(1)^2 + 9 \cdot 1 - 10 = 1 + 9 - 10 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное. Следовательно, число 1 является корнем уравнения.

Проверим число 0

Подставим $x=0$ в уравнение:

$(0)^2 + 9 \cdot 0 - 10 = 0 + 0 - 10 = -10$.

Так как $-10 \neq 0$, равенство неверное. Следовательно, число 0 не является корнем уравнения.

Проверим число -3

Подставим $x=-3$ в уравнение:

$(-3)^2 + 9 \cdot (-3) - 10 = 9 - 27 - 10 = -28$.

Так как $-28 \neq 0$, равенство неверное. Следовательно, число -3 не является корнем уравнения.

Проверим число 2

Подставим $x=2$ в уравнение:

$(2)^2 + 9 \cdot 2 - 10 = 4 + 18 - 10 = 12$.

Так как $12 \neq 0$, равенство неверное. Следовательно, число 2 не является корнем уравнения.

Проверим число -10

Подставим $x=-10$ в уравнение:

$(-10)^2 + 9 \cdot (-10) - 10 = 100 - 90 - 10 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное. Следовательно, число -10 является корнем уравнения.

Таким образом, из предложенного списка чисел корнями уравнения являются 1 и -10.

Ответ: 1; -10.

624. Докажите, что:

1) число $-1$ не является корнем уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$;

2) числа $-\frac{1}{3}$ и $-3$ являются корнями уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$;

3) числа $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ являются корнями уравнения $3x^2 - 6 = 0$.

1) Чтобы доказать, что число не является корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится неверное равенство, то число не является корнем.

Подставим $x = -1$ в уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$:

$(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$

Так как $6 \neq 0$, то равенство неверно. Следовательно, число $-1$ не является корнем данного уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что числа являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить каждое из них в уравнение. Если в обоих случаях получаются верные равенства, то утверждение доказано.

Проверим число $x = -\frac{1}{3}$ для уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$:

$3 \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 10 \cdot (-\frac{1}{3}) + 3 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{3}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{1}{3} - \frac{10}{3} + \frac{9}{3} = \frac{1 - 10 + 9}{3} = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = -\frac{1}{3}$ является корнем уравнения.

Проверим число $x = -3$:

$3 \cdot (-3)^2 + 10 \cdot (-3) + 3 = 3 \cdot 9 - 30 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = -3$ также является корнем уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) Аналогично предыдущему пункту, проверим каждое число для уравнения $3x^2 - 6 = 0$.

Проверим число $x = -\sqrt{2}$:

$3 \cdot (-\sqrt{2})^2 - 6 = 3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = -\sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Проверим число $x = \sqrt{2}$:

$3 \cdot (\sqrt{2})^2 - 6 = 3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = \sqrt{2}$ также является корнем уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

625. Докажите, что:

1) число -5 является корнем уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$;

2) число 4 не является корнем уравнения $\frac{1}{4}x^2 - 4x = 0$.

1) число -5 является корнем уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$;

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, необходимо подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения.

Подставим $x = -5$ в уравнение $x^2 + 3x - 10 = 0$:

$(-5)^2 + 3 \cdot (-5) - 10 = 0$

$25 - 15 - 10 = 0$

$10 - 10 = 0$

$0 = 0$

Получилось верное равенство. Следовательно, число $-5$ действительно является корнем данного уравнения, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

2) число 4 не является корнем уравнения $\frac{1}{4}x^2 - 4x = 0$.

Аналогично первому пункту, подставим $x = 4$ в уравнение $\frac{1}{4}x^2 - 4x = 0$:

$\frac{1}{4} \cdot (4)^2 - 4 \cdot 4 = 0$

$\frac{1}{4} \cdot 16 - 16 = 0$

$4 - 16 = 0$

$-12 = 0$

Получилось неверное равенство. Следовательно, число $4$ не является корнем данного уравнения, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

626. Решите уравнение:

1) $5x^2 - 45 = 0$;

2) $x^2 + 8x = 0$;

3) $2x^2 - 10 = 0$;

4) $2x^2 - 10x = 0$;

5) $64x^2 - 9 = 0$;

6) $x^2 + 16 = 0$.

1) $5x^2 - 45 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член (-45) в правую часть уравнения и изменим его знак:

$5x^2 = 45$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 5:

$x^2 = \frac{45}{5}$

$x^2 = 9$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{9}$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: -3; 3.

2) $x^2 + 8x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Произведение равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 8 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x = -8$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.

Ответ: -8; 0.

3) $2x^2 - 10 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем -10 в правую часть уравнения:

$2x^2 = 10$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = \frac{10}{2}$

$x^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{5}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}$; $\sqrt{5}$.

4) $2x^2 - 10x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

$2x = 0$ или $x - 5 = 0$

Решая каждое из этих простых уравнений, получаем:

$x = 0$

$x = 5$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Ответ: 0; 5.

5) $64x^2 - 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Можно решить его, перенеся свободный член вправо, или с помощью формулы разности квадратов. Воспользуемся первым способом.

Перенесем -9 в правую часть:

$64x^2 = 9$

Разделим обе части на 64:

$x^2 = \frac{9}{64}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{64}}$

$x = \pm\frac{3}{8}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{8}$ и $x_2 = -\frac{3}{8}$.

Ответ: $-\frac{3}{8}$; $\frac{3}{8}$.

6) $x^2 + 16 = 0$

Перенесем свободный член 16 в правую часть уравнения:

$x^2 = -16$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку правая часть уравнения равна -16 (отрицательное число), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: корней нет.

627. Решите уравнение:

1) $x^2 + 7x = 0$;

2) $2x^2 - 11x = 0$;

3) $3x^2 - 6 = 0$;

4) $-8x^2 = 0$.

1) Дано уравнение $x^2 + 7x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, у которого свободный член $c$ равен нулю. Для решения таких уравнений используется метод разложения на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 7) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два возможных случая:
$x = 0$
или
$x + 7 = 0$
Из второго уравнения находим второй корень:
$x = -7$
Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -7$.
Ответ: $0; -7$.

2) Дано уравнение $2x^2 - 11x = 0$.
Это также неполное квадратное уравнение со свободным членом $c = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 11) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$
или
$2x - 11 = 0$
Решим второе уравнение, чтобы найти второй корень:
$2x = 11$
$x = \frac{11}{2} = 5.5$
Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 5.5$.
Ответ: $0; 5.5$.

3) Дано уравнение $3x^2 - 6 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент при $x$ (коэффициент $b$) равен нулю. Для его решения необходимо выразить $x^2$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$3x^2 = 6$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 3:
$x^2 = \frac{6}{3}$
$x^2 = 2$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что уравнение будет иметь два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{2}$
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}; -\sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $-8x^2 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, у которого и коэффициент $b$, и свободный член $c$ равны нулю. Для решения разделим обе части уравнения на коэффициент -8:
$x^2 = \frac{0}{-8}$
$x^2 = 0$
Извлекая квадратный корень из нуля, мы получаем единственный корень:
$x = 0$
Ответ: $0$.

628. Решите уравнение:

1) $(3x - 1)(x + 4) = -4;$

2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x,$

3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x.$

1) $(3x - 1)(x + 4) = -4$

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:
$3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 = -4$
$3x^2 + 12x - x - 4 = -4$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 11x - 4 = -4$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:
$3x^2 + 11x - 4 + 4 = 0$
$3x^2 + 11x = 0$
Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x + 11) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:
1) $x_1 = 0$
2) $3x + 11 = 0 \implies 3x = -11 \implies x_2 = -\frac{11}{3}$

Ответ: $0; -\frac{11}{3}$.

2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x$

Раскроем скобки. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 - 6(6 - x) = 2x$
$4x^2 - 4x + 1 - 36 + 6x = 2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$4x^2 + (-4x + 6x) + (1 - 36) = 2x$
$4x^2 + 2x - 35 = 2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 + 2x - 35 - 2x = 0$
$4x^2 - 35 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$4x^2 = 35$
$x^2 = \frac{35}{4}$
Найдем корни, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{35}{4}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{2}$
$x_1 = \frac{\sqrt{35}}{2}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{35}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{35}}{2}; -\frac{\sqrt{35}}{2}$.

3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x$

Раскроем скобки в левой части. Второе произведение $(x-5)(x+5)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(x^2 - 3x + 2x - 6) - (x^2 - 5^2) = x^2 - x$
$(x^2 - x - 6) - (x^2 - 25) = x^2 - x$
$x^2 - x - 6 - x^2 + 25 = x^2 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(x^2 - x^2) - x + (-6 + 25) = x^2 - x$
$-x + 19 = x^2 - x$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^2 - x - (-x + 19)$
$0 = x^2 - x + x - 19$
$0 = x^2 - 19$
Или $x^2 - 19 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$x^2 = 19$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{19}$
$x_1 = \sqrt{19}$, $x_2 = -\sqrt{19}$

Ответ: $\sqrt{19}; -\sqrt{19}$.

629. Решите уравнение:

1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21;$

2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x.$

1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения. Первое слагаемое $(3x - 2)(3x + 2)$ — это разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Второе слагаемое $(4x - 5)^2$ — это квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$( (3x)^2 - 2^2 ) + ( (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 ) = 10x + 21$

$(9x^2 - 4) + (16x^2 - 40x + 25) = 10x + 21$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$9x^2 - 4 + 16x^2 - 40x + 25 = 10x + 21$

$(9x^2 + 16x^2) - 40x + (25 - 4) = 10x + 21$

$25x^2 - 40x + 21 = 10x + 21$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$25x^2 - 40x + 21 - 10x - 21 = 0$

$25x^2 - 50x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $25x$ за скобки:

$25x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два возможных случая:

$25x = 0$ или $x - 2 = 0$

Решая каждое из этих уравнений, находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого произведения $(2x - 1)(x + 8)$ применим правило умножения многочленов. Второе произведение $(x - 1)(x + 1)$ является разностью квадратов $x^2 - 1^2$.

$(2x \cdot x + 2x \cdot 8 - 1 \cdot x - 1 \cdot 8) - (x^2 - 1) = 15x$

$(2x^2 + 16x - x - 8) - (x^2 - 1) = 15x$

Приведем подобные слагаемые в первых скобках:

$(2x^2 + 15x - 8) - (x^2 - 1) = 15x$

Раскроем вторые скобки, изменив знак каждого члена внутри них на противоположный:

$2x^2 + 15x - 8 - x^2 + 1 = 15x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x^2 - x^2) + 15x + (1 - 8) = 15x$

$x^2 + 15x - 7 = 15x$

Перенесем член $15x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 + 15x - 15x - 7 = 0$

$x^2 - 7 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 7$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем про два возможных корня (положительный и отрицательный):

$x = \pm\sqrt{7}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = -\sqrt{7}$, $x_2 = \sqrt{7}$

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

630. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 36 больше меньшего из них.

Пусть меньшее из двух искомых последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним натуральное число будет $n + 1$.

По условию задачи, произведение этих двух чисел на 36 больше меньшего из них. Меньшее число — это $n$. Мы можем составить и решить уравнение, чтобы найти $n$.

Произведение чисел: $n \cdot (n + 1)$

Меньшее число, увеличенное на 36: $n + 36$

Приравняем эти два выражения:

$n(n + 1) = n + 36$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$n^2 + n = n + 36$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону. Вычтем $n$ и $36$ из обеих частей:

$n^2 + n - n - 36 = 0$

$n^2 - 36 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Найдем его корни:

$n^2 = 36$

$n = \pm\sqrt{36}$

$n_1 = 6$

$n_2 = -6$

Поскольку в задаче требуется найти натуральные числа, а натуральные числа — это целые положительные числа, корень $n_2 = -6$ не является решением задачи.

Таким образом, меньшее из чисел равно $n = 6$.

Второе число, следующее за ним, равно $n + 1 = 6 + 1 = 7$.

Проверим: произведение чисел $6 \cdot 7 = 42$. Меньшее число равно 6. Разница между произведением и меньшим числом составляет $42 - 6 = 36$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 6 и 7.

631. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 80 больше большего из них.

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда большее число будет равно $n+1$. По условию, числа натуральные, значит $n \ge 1$.

Произведение этих двух чисел равно $n(n+1)$.

Большее из этих чисел — это $n+1$.

Согласно условию задачи, произведение чисел на 80 больше большего из них. Это можно записать в виде уравнения:

$n(n+1) = (n+1) + 80$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$n^2 + n = n + 1 + 80$

Упростим правую часть:

$n^2 + n = n + 81$

Перенесём все члены с $n$ в левую часть, а числа оставим в правой. Вычтем $n$ из обеих частей уравнения:

$n^2 + n - n = 81$

$n^2 = 81$

Найдём корни этого уравнения:

$n_1 = \sqrt{81} = 9$

$n_2 = -\sqrt{81} = -9$

Поскольку по условию мы ищем натуральные числа, корень $n = -9$ не является решением задачи.

Таким образом, меньшее из чисел равно 9.

Тогда большее число равно $n+1 = 9+1 = 10$.

Искомые числа — 9 и 10.

Проверка:

Произведение чисел: $9 \cdot 10 = 90$.

Большее число: 10.

Проверим, действительно ли произведение на 80 больше большего числа: $90 - 10 = 80$.

Условие выполняется.

Ответ: 9 и 10.

632. Докажите, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2-4x+1=0.$

Чтобы доказать, что указанные числа являются корнями уравнения, можно воспользоваться одним из двух способов: прямой подстановкой или теоремой Виета. Рассмотрим оба.

Способ 1. Прямая подстановка

Подставим поочередно каждое число в уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$ и проверим, обращается ли левая часть в ноль.

Проверка числа $2-\sqrt{3}$

Подставляем $x = 2-\sqrt{3}$:

$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1 = 0$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, раскрываем скобки:

$(2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (8 - 4\sqrt{3}) + 1 = 0$

$(4 - 4\sqrt{3} + 3) - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$

$7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0$

Группируем слагаемые: $(7 - 8 + 1) + (-4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 0$

$0 + 0 = 0$

Получено верное равенство, значит, число $2-\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Ответ: Доказано, что число $2-\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Проверка числа $2+\sqrt{3}$

Подставляем $x = 2+\sqrt{3}$:

$(2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 1 = 0$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскрываем скобки:

$(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - (8 + 4\sqrt{3}) + 1 = 0$

$(4 + 4\sqrt{3} + 3) - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$

$7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$

Группируем слагаемые: $(7 - 8 + 1) + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = 0$

$0 + 0 = 0$

Получено верное равенство, значит, число $2+\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Ответ: Доказано, что число $2+\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Способ 2. Использование обратной теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ обратная теорема Виета гласит: если сумма чисел $x_1$ и $x_2$ равна $-p$, а их произведение равно $q$, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Для нашего уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ коэффициенты равны $p = -4$ и $q = 1$.

Следовательно, мы должны проверить, что:

• Сумма чисел равна $-p = -(-4) = 4$.
• Произведение чисел равно $q = 1$.

Найдем сумму и произведение чисел $x_1 = 2-\sqrt{3}$ и $x_2 = 2+\sqrt{3}$.

Сумма: $x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Оба условия выполняются. Следовательно, по обратной теореме Виета числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются корнями уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Ответ: Доказано, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются корнями заданного уравнения.

633. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x;$

2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2.$

1) Дано уравнение $\frac{x^2-8x}{6} = x$.
Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 6:
$x^2 - 8x = 6x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 8x - 6x = 0$
$x^2 - 14x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 14) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:
$x_1 = 0$
или
$x - 14 = 0 \implies x_2 = 14$
Оба корня являются действительными числами и не приводят к делению на ноль в исходном уравнении, поэтому оба являются решениями.
Ответ: 0; 14.

2) Дано уравнение $\frac{x^2-3}{5} - \frac{x^2-1}{2} = 2$.
Для решения этого уравнения сначала избавимся от знаменателей. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 2, который равен 10. Умножим обе части уравнения на 10:
$10 \cdot \left( \frac{x^2-3}{5} - \frac{x^2-1}{2} \right) = 10 \cdot 2$
$\frac{10(x^2-3)}{5} - \frac{10(x^2-1)}{2} = 20$
Сократим дроби:
$2(x^2 - 3) - 5(x^2 - 1) = 20$
Теперь раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью:
$2x^2 - 6 - 5x^2 + 5 = 20$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(2x^2 - 5x^2) + (-6 + 5) = 20$
$-3x^2 - 1 = 20$
Перенесем постоянный член (-1) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-3x^2 = 20 + 1$
$-3x^2 = 21$
Разделим обе части на -3, чтобы найти $x^2$:
$x^2 = \frac{21}{-3}$
$x^2 = -7$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку $x^2$ должен быть больше или равен нулю, а мы получили $x^2 = -7$, то данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: нет корней.

634. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2+x}{7} - \frac{x}{3} = 0;$

2) $\frac{x^2+1}{6} - \frac{x^2+2}{4} = -1.$

1)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + x}{7} - \frac{x}{3} = 0$.

Чтобы избавиться от знаменателей, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 7 и 3 равно 21. Умножим обе части уравнения на 21:

$21 \cdot \left( \frac{x^2 + x}{7} \right) - 21 \cdot \left( \frac{x}{3} \right) = 21 \cdot 0$

$3(x^2 + x) - 7x = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x^2 + 3x - 7x = 0$

$3x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

1. $x_1 = 0$

2. $3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Уравнение имеет два корня: 0 и $\frac{4}{3}$.

Ответ: $0; \frac{4}{3}$.

2)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + 1}{6} - \frac{x^2 + 2}{4} = -1$.

Для решения этого уравнения также избавимся от дробей. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4. Это число 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \left( \frac{x^2 + 1}{6} \right) - 12 \cdot \left( \frac{x^2 + 2}{4} \right) = 12 \cdot (-1)$

$2(x^2 + 1) - 3(x^2 + 2) = -12$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью.

$2x^2 + 2 - 3x^2 - 6 = -12$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2x^2 - 3x^2) + (2 - 6) = -12$

$-x^2 - 4 = -12$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x^2$. Перенесем -4 в правую часть:

$-x^2 = -12 + 4$

$-x^2 = -8$

Умножим обе части на -1:

$x^2 = 8$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $2\sqrt{2}$ и $-2\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm2\sqrt{2}$.

635. При каком значении m:

1) число 2 является корнем уравнения $x^2 + mx - 6 = 0;$

2) число $-3$ является корнем уравнения $2x^2 - 7x + m = 0;$

3) число $\frac{1}{7}$ является корнем уравнения $m^2x^2 + 14x - 3 = 0?`

1) число 2 является корнем уравнения $x^2 + mx - 6 = 0$;

По определению, корень уравнения — это значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Чтобы найти значение $m$, подставим корень $x=2$ в исходное уравнение:

$2^2 + m \cdot 2 - 6 = 0$

Выполним вычисления:

$4 + 2m - 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2m - 2 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$2m = 2$

$m = \frac{2}{2}$

$m = 1$

Ответ: $m=1$.

2) число –3 является корнем уравнения $2x^2 - 7x + m = 0$;

Аналогично предыдущему пункту, подставим значение корня $x = -3$ в уравнение:

$2 \cdot (-3)^2 - 7 \cdot (-3) + m = 0$

Выполним вычисления, помня, что квадрат отрицательного числа положителен:

$2 \cdot 9 - (-21) + m = 0$

$18 + 21 + m = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$39 + m = 0$

Выразим $m$:

$m = -39$

Ответ: $m=-39$.

3) число $\frac{1}{7}$ является корнем уравнения $m^2x^2 + 14x - 3 = 0$?

Подставим значение корня $x = \frac{1}{7}$ в данное уравнение:

$m^2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 + 14 \cdot \left(\frac{1}{7}\right) - 3 = 0$

Выполним вычисления:

$m^2 \cdot \frac{1}{49} + \frac{14}{7} - 3 = 0$

$\frac{m^2}{49} + 2 - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{m^2}{49} - 1 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $m$:

$\frac{m^2}{49} = 1$

Умножим обе части уравнения на 49:

$m^2 = 49$

Данное неполное квадратное уравнение имеет два корня:

$m_1 = \sqrt{49} = 7$

$m_2 = -\sqrt{49} = -7$

Ответ: $m=7$ или $m=-7$.