Номер 624, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 624, страница 161.

Условие.

624. Докажите, что:

1) число $-1$ не является корнем уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$;

2) числа $-\frac{1}{3}$ и $-3$ являются корнями уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$;

3) числа $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ являются корнями уравнения $3x^2 - 6 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы доказать, что число не является корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится неверное равенство, то число не является корнем.

Подставим $x = -1$ в уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$:

$(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$

Так как $6 \neq 0$, то равенство неверно. Следовательно, число $-1$ не является корнем данного уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что числа являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить каждое из них в уравнение. Если в обоих случаях получаются верные равенства, то утверждение доказано.

Проверим число $x = -\frac{1}{3}$ для уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$:

$3 \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 10 \cdot (-\frac{1}{3}) + 3 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{3}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{1}{3} - \frac{10}{3} + \frac{9}{3} = \frac{1 - 10 + 9}{3} = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = -\frac{1}{3}$ является корнем уравнения.

Проверим число $x = -3$:

$3 \cdot (-3)^2 + 10 \cdot (-3) + 3 = 3 \cdot 9 - 30 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = -3$ также является корнем уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) Аналогично предыдущему пункту, проверим каждое число для уравнения $3x^2 - 6 = 0$.

Проверим число $x = -\sqrt{2}$:

$3 \cdot (-\sqrt{2})^2 - 6 = 3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = -\sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Проверим число $x = \sqrt{2}$:

$3 \cdot (\sqrt{2})^2 - 6 = 3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$, значит, $x = \sqrt{2}$ также является корнем уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.