Номер 629, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 629, страница 161.

Условие.

629. Решите уравнение:

1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21;$

2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(3x - 2)(3x + 2) + (4x - 5)^2 = 10x + 21$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения. Первое слагаемое $(3x - 2)(3x + 2)$ — это разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Второе слагаемое $(4x - 5)^2$ — это квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$( (3x)^2 - 2^2 ) + ( (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 ) = 10x + 21$

$(9x^2 - 4) + (16x^2 - 40x + 25) = 10x + 21$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$9x^2 - 4 + 16x^2 - 40x + 25 = 10x + 21$

$(9x^2 + 16x^2) - 40x + (25 - 4) = 10x + 21$

$25x^2 - 40x + 21 = 10x + 21$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$25x^2 - 40x + 21 - 10x - 21 = 0$

$25x^2 - 50x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $25x$ за скобки:

$25x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два возможных случая:

$25x = 0$ или $x - 2 = 0$

Решая каждое из этих уравнений, находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

2) $(2x - 1)(x + 8) - (x - 1)(x + 1) = 15x$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого произведения $(2x - 1)(x + 8)$ применим правило умножения многочленов. Второе произведение $(x - 1)(x + 1)$ является разностью квадратов $x^2 - 1^2$.

$(2x \cdot x + 2x \cdot 8 - 1 \cdot x - 1 \cdot 8) - (x^2 - 1) = 15x$

$(2x^2 + 16x - x - 8) - (x^2 - 1) = 15x$

Приведем подобные слагаемые в первых скобках:

$(2x^2 + 15x - 8) - (x^2 - 1) = 15x$

Раскроем вторые скобки, изменив знак каждого члена внутри них на противоположный:

$2x^2 + 15x - 8 - x^2 + 1 = 15x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x^2 - x^2) + 15x + (1 - 8) = 15x$

$x^2 + 15x - 7 = 15x$

Перенесем член $15x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 + 15x - 15x - 7 = 0$

$x^2 - 7 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 7$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем про два возможных корня (положительный и отрицательный):

$x = \pm\sqrt{7}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = -\sqrt{7}$, $x_2 = \sqrt{7}$

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.