Номер 633, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 633, страница 161.

Условие.

633. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 8x}{6} = x;$

2) $\frac{x^2 - 3}{5} - \frac{x^2 - 1}{2} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $\frac{x^2-8x}{6} = x$.
Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 6:
$x^2 - 8x = 6x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 8x - 6x = 0$
$x^2 - 14x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 14) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:
$x_1 = 0$
или
$x - 14 = 0 \implies x_2 = 14$
Оба корня являются действительными числами и не приводят к делению на ноль в исходном уравнении, поэтому оба являются решениями.
Ответ: 0; 14.

2) Дано уравнение $\frac{x^2-3}{5} - \frac{x^2-1}{2} = 2$.
Для решения этого уравнения сначала избавимся от знаменателей. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 2, который равен 10. Умножим обе части уравнения на 10:
$10 \cdot \left( \frac{x^2-3}{5} - \frac{x^2-1}{2} \right) = 10 \cdot 2$
$\frac{10(x^2-3)}{5} - \frac{10(x^2-1)}{2} = 20$
Сократим дроби:
$2(x^2 - 3) - 5(x^2 - 1) = 20$
Теперь раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью:
$2x^2 - 6 - 5x^2 + 5 = 20$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(2x^2 - 5x^2) + (-6 + 5) = 20$
$-3x^2 - 1 = 20$
Перенесем постоянный член (-1) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-3x^2 = 20 + 1$
$-3x^2 = 21$
Разделим обе части на -3, чтобы найти $x^2$:
$x^2 = \frac{21}{-3}$
$x^2 = -7$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку $x^2$ должен быть больше или равен нулю, а мы получили $x^2 = -7$, то данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: нет корней.