Номер 637, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 637, страница 162.

Условие.

637. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки:

1) $x^2 - 6x + 8 = 0;$

2) $x^2 + 12x + 20 = 0;$

3) $x^2 + 22x - 23 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 6x + 8 = 0$

Чтобы разложить левую часть уравнения на множители способом группировки, представим средний член $-6x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого нам нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену $c=8$, а сумма равна коэффициенту при $x$, то есть $b=-6$.

Подберем эти числа. Это $-2$ и $-4$, так как $(-2) \cdot (-4) = 8$ и $(-2) + (-4) = -6$.

Перепишем уравнение, заменив $-6x$ на $-2x - 4x$:

$x^2 - 2x - 4x + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (-4x + 8) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x(x - 2) - 4(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0$ или $x - 4 = 0$

$x_1 = 2$

$x_2 = 4$

Ответ: 2; 4.

2) $x^2 + 12x + 20 = 0$

Представим средний член $12x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно $20$, а сумма равна $12$.

Эти числа $10$ и $2$, так как $10 \cdot 2 = 20$ и $10 + 2 = 12$.

Перепишем уравнение, заменив $12x$ на $10x + 2x$:

$x^2 + 10x + 2x + 20 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 10x) + (2x + 20) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x(x + 10) + 2(x + 10) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 10)$ за скобки:

$(x + 10)(x + 2) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 10 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x_1 = -10$

$x_2 = -2$

Ответ: -10; -2.

3) $x^2 + 22x - 23 = 0$

Представим средний член $22x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно $-23$, а сумма равна $22$.

Эти числа $23$ и $-1$, так как $23 \cdot (-1) = -23$ и $23 + (-1) = 22$.

Перепишем уравнение, заменив $22x$ на $23x - x$:

$x^2 + 23x - x - 23 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 23x) + (-x - 23) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x(x + 23) - 1(x + 23) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 23)$ за скобки:

$(x + 23)(x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 23 = 0$ или $x - 1 = 0$

$x_1 = -23$

$x_2 = 1$

Ответ: -23; 1.