Номер 643, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 643, страница 162.

Условие.

643. Каким числом, положительным или отрицательным, является отличный от нуля корень неполного квадратного уравнения $ax^2 + bx = 0$, если:

1) $a > 0, b > 0;$

2) $a < 0, b > 0;$

3) $a > 0, b < 0;$

4) $a < 0, b < 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение $ax^2 + bx = 0$. По определению квадратного уравнения, коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Для нахождения корней этого уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(ax + b) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ или $ax + b = 0$.

В задаче требуется определить знак корня, отличного от нуля. Найдем этот корень из второго уравнения: $ax = -b$ $x_2 = -\frac{b}{a}$.

Знак корня $x_2$ зависит от знаков коэффициентов $a$ и $b$. Проанализируем каждый из предложенных случаев.

1) a > 0, b > 0;
Если $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0$, $b > 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ также будет положительным. Корень $x_2$ равен этому отношению, взятому с противоположным знаком: $x_2 = -\frac{b}{a}$. Следовательно, корень $x_2$ будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательным.

2) a < 0, b > 0;
Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), а $b$ — положительное ($b > 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ будет отрицательным (частное чисел с разными знаками). Корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ является числом, противоположным отрицательному, а значит, он будет положительным.
Ответ: положительным.

3) a > 0, b < 0;
Если $a$ — положительное число ($a > 0$), а $b$ — отрицательное ($b < 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ будет отрицательным. Корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ является числом, противоположным отрицательному, следовательно, он будет положительным.
Ответ: положительным.

4) a < 0, b < 0?
Если и $a$, и $b$ — отрицательные числа ($a < 0$, $b < 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел). Корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ равен этому отношению с противоположным знаком, а значит, он будет отрицательным.
Ответ: отрицательным.