Номер 642, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 642, страница 162.

Условие.

642. При каком значении m не является квадратным уравнение:

1) $(m-4)x^2 + mx + 7 = 0;$

2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0;$

3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0?$`

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Квадратное уравнение имеет общий вид $ax^2 + bx + c = 0$, где обязательным условием является неравенство нулю коэффициента $a$ при старшем члене (т.е. $a \neq 0$). Если этот коэффициент равен нулю, уравнение перестает быть квадратным и, как правило, становится линейным.

Чтобы найти значения параметра $m$, при которых данное уравнение не является квадратным, необходимо приравнять к нулю коэффициент при $x^2$ и решить полученное уравнение относительно $m$.

1) $(m - 4)x^2 + mx + 7 = 0$
В данном уравнении коэффициент при $x^2$ равен выражению $(m - 4)$. Чтобы уравнение не было квадратным, этот коэффициент должен быть равен нулю.
$m - 4 = 0$
Решая это простое уравнение, получаем:
$m = 4$
При $m = 4$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 4x + 7 = 0$, или $4x + 7 = 0$, что является линейным уравнением.
Ответ: при $m = 4$.

2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0$
Коэффициент при $x^2$ здесь равен $(m^2 + 8m)$. Приравняем его к нулю:
$m^2 + 8m = 0$
Вынесем общий множитель $m$ за скобки:
$m(m + 8) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$m = 0$ или $m + 8 = 0$
Отсюда находим два значения для $m$:
$m_1 = 0$, $m_2 = -8$
Ответ: при $m = 0$ и $m = -8$.

3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0$
Коэффициент при $x^2$ в этом уравнении равен $(m^2 - 81)$. Приравняем его к нулю:
$m^2 - 81 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Можно перенести 81 в правую часть:
$m^2 = 81$
Либо можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(m - 9)(m + 9) = 0$
Из обоих способов получаем два решения:
$m_1 = 9$, $m_2 = -9$
Ответ: при $m = 9$ и $m = -9$.