Номер 641, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 641, страница 162.

Условие.

641.Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первое искомое целое число равно $n$. Так как числа последовательные, то второе число будет $n + 1$.

Согласно условию задачи, сумма их квадратов равна 1. Мы можем составить следующее уравнение:

$n^2 + (n + 1)^2 = 1$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 1$

Сложим подобные члены в левой части уравнения:

$2n^2 + 2n + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$2n^2 + 2n = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2n$ за скобки:

$2n(n + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения для $n$:

1) $2n = 0 \implies n_1 = 0$

2) $n + 1 = 0 \implies n_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие пары последовательных чисел:

Если $n = 0$, то второе число равно $n + 1 = 0 + 1 = 1$. Первая пара чисел: (0, 1).

Если $n = -1$, то второе число равно $n + 1 = -1 + 1 = 0$. Вторая пара чисел: (-1, 0).

Проверим найденные решения:

Для пары (0, 1): $0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Верно.

Для пары (-1, 0): $(-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Верно.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 0 и 1; или -1 и 0.