Страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

636. При каком значении n:

1) число 6 является корнем уравнения $x^2 - nx + 3 = 0$;

2) число 0,5 является корнем уравнения $nx^2 - 8x + 10 = 0$?

1) Если число 6 является корнем уравнения, то при подстановке $x=6$ в уравнение $x^2 - nx + 3 = 0$ мы получим верное равенство. Выполним подстановку:

$(6)^2 - n \cdot 6 + 3 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной n.

Возводим 6 в квадрат:

$36 - 6n + 3 = 0$

Складываем числовые члены:

$39 - 6n = 0$

Переносим 39 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-6n = -39$

Делим обе части уравнения на -6:

$n = \frac{-39}{-6}$

$n = \frac{39}{6}$

Сокращаем дробь на 3 и представляем в виде десятичной дроби:

$n = \frac{13}{2} = 6,5$

Ответ: $n = 6,5$.

2) Аналогично, если число 0,5 является корнем уравнения $nx^2 - 8x + 10 = 0$, то при подстановке $x=0,5$ в это уравнение мы получим верное равенство. Выполним подстановку:

$n \cdot (0,5)^2 - 8 \cdot 0,5 + 10 = 0$

Решим полученное уравнение относительно переменной n.

Выполняем вычисления:

$n \cdot 0,25 - 4 + 10 = 0$

Складываем числовые члены:

$0,25n + 6 = 0$

Переносим 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$0,25n = -6$

Делим обе части уравнения на 0,25:

$n = \frac{-6}{0,25}$

Так как $0,25 = \frac{1}{4}$, деление на 0,25 эквивалентно умножению на 4:

$n = -6 \cdot 4$

$n = -24$

Ответ: $n = -24$.

637. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки:

1) $x^2 - 6x + 8 = 0;$

2) $x^2 + 12x + 20 = 0;$

3) $x^2 + 22x - 23 = 0.$

1) $x^2 - 6x + 8 = 0$

Чтобы разложить левую часть уравнения на множители способом группировки, представим средний член $-6x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого нам нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену $c=8$, а сумма равна коэффициенту при $x$, то есть $b=-6$.

Подберем эти числа. Это $-2$ и $-4$, так как $(-2) \cdot (-4) = 8$ и $(-2) + (-4) = -6$.

Перепишем уравнение, заменив $-6x$ на $-2x - 4x$:

$x^2 - 2x - 4x + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (-4x + 8) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x(x - 2) - 4(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0$ или $x - 4 = 0$

$x_1 = 2$

$x_2 = 4$

Ответ: 2; 4.

2) $x^2 + 12x + 20 = 0$

Представим средний член $12x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно $20$, а сумма равна $12$.

Эти числа $10$ и $2$, так как $10 \cdot 2 = 20$ и $10 + 2 = 12$.

Перепишем уравнение, заменив $12x$ на $10x + 2x$:

$x^2 + 10x + 2x + 20 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 10x) + (2x + 20) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x(x + 10) + 2(x + 10) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 10)$ за скобки:

$(x + 10)(x + 2) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 10 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x_1 = -10$

$x_2 = -2$

Ответ: -10; -2.

3) $x^2 + 22x - 23 = 0$

Представим средний член $22x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно $-23$, а сумма равна $22$.

Эти числа $23$ и $-1$, так как $23 \cdot (-1) = -23$ и $23 + (-1) = 22$.

Перепишем уравнение, заменив $22x$ на $23x - x$:

$x^2 + 23x - x - 23 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 23x) + (-x - 23) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x(x + 23) - 1(x + 23) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 23)$ за скобки:

$(x + 23)(x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 23 = 0$ или $x - 1 = 0$

$x_1 = -23$

$x_2 = 1$

Ответ: -23; 1.

638. Решите уравнение, выделив в его левой части квадрат двучлена:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;

2) $x^2 + 6x - 7 = 0$;

3) $x^2 + 8x + 20 = 0$.

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Чтобы решить уравнение методом выделения полного квадрата, представим левую часть в виде $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем уравнении $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Слагаемое $-4x$ является удвоенным произведением $-2ab$. То есть, $-2 \cdot x \cdot b = -4x$, откуда находим, что $b=2$.

Для получения полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4 в левой части уравнения, чтобы его значение не изменилось:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = 0$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом:

$(x - 2)^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 2 = 1$ или $x - 2 = -1$

Найдем корни:

$x_1 = 1 + 2 = 3$

$x_2 = -1 + 2 = 1$

Ответ: $1; 3$.

2) $x^2 + 6x - 7 = 0$

Выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Слагаемое $6x$ — это удвоенное произведение $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 6x$, откуда $b=3$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9 в левой части:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 - 7 = 0$

Свернем выражение в скобках в полный квадрат:

$(x + 3)^2 - 16 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x + 3)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$

Найдем корни:

$x_1 = 4 - 3 = 1$

$x_2 = -4 - 3 = -7$

Ответ: $-7; 1$.

3) $x^2 + 8x + 20 = 0$

Выделим квадрат двучлена по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$. Тогда удвоенное произведение $2ab = 8x$, откуда $b=4$.

Для полного квадрата необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16:

$(x^2 + 8x + 16) - 16 + 20 = 0$

Свернем полный квадрат и упростим выражение:

$(x + 4)^2 + 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x + 4)^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Выражение $(x+4)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+4)^2 \ge 0$. Следовательно, уравнение не может равняться -4.

Ответ: корней нет.

639. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители:

1) $x^2 - 10x + 9 = 0;$

2) $x^2 + 2x - 3 = 0;$

3) $x^2 - x - 2 = 0;$

4) $x^2 + 6x + 5 = 0.$

1) Для решения уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$ разложим его левую часть на множители. Для этого представим средний член $-10x$ в виде суммы $-x - 9x$, так как $-1 \cdot (-9) = 9$ и $-1 + (-9) = -10$.
$x^2 - x - 9x + 9 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(x^2 - x) - (9x - 9) = 0$
$x(x - 1) - 9(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x - 9) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0$ или $x - 9 = 0$
$x_1 = 1$, $x_2 = 9$
Ответ: $1; 9$.

2) Для решения уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ разложим его левую часть на множители. Представим $2x$ как $3x - x$, так как $3 \cdot (-1) = -3$ и $3 + (-1) = 2$.
$x^2 + 3x - x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(x^2 + 3x) - (x + 3) = 0$
$x(x + 3) - 1(x + 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x + 3)$:
$(x + 3)(x - 1) = 0$
Корни уравнения находятся из условий:
$x + 3 = 0$ или $x - 1 = 0$
$x_1 = -3$, $x_2 = 1$
Ответ: $-3; 1$.

3) Для решения уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ разложим его левую часть на множители. Представим $-x$ как $-2x + x$, так как $-2 \cdot 1 = -2$ и $-2 + 1 = -1$.
$x^2 - 2x + x - 2 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(x^2 - 2x) + (x - 2) = 0$
$x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 2)$:
$(x - 2)(x + 1) = 0$
Корни уравнения находятся из условий:
$x - 2 = 0$ или $x + 1 = 0$
$x_1 = 2$, $x_2 = -1$
Ответ: $-1; 2$.

4) Для решения уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$ разложим его левую часть на множители. Представим $6x$ как $x + 5x$, так как $1 \cdot 5 = 5$ и $1 + 5 = 6$.
$x^2 + x + 5x + 5 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(x^2 + x) + (5x + 5) = 0$
$x(x + 1) + 5(x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x + 1)$:
$(x + 1)(x + 5) = 0$
Корни уравнения находятся из условий:
$x + 1 = 0$ или $x + 5 = 0$
$x_1 = -1$, $x_2 = -5$
Ответ: $-5; -1$.

640. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $n$. Тогда большее число равно $n+1$.

Сумма их квадратов выражается формулой $n^2 + (n+1)^2$.

Удвоенное большее из этих чисел равно $2(n+1)$.

Согласно условию, сумма квадратов на 17 больше, чем удвоенное большее число. Составим уравнение на основе этого условия:

$n^2 + (n+1)^2 = 2(n+1) + 17$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n + 2 + 17$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$2n^2 + 2n + 1 = 2n + 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2n^2 + 2n - 2n + 1 - 19 = 0$

$2n^2 - 18 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его:

$2n^2 = 18$

$n^2 = 9$

Уравнение имеет два корня: $n_1 = 3$ и $n_2 = -3$.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Меньшее число $n = 3$.
Тогда большее число равно $n + 1 = 3 + 1 = 4$.
Искомая пара чисел: 3 и 4.
Проверка: Сумма квадратов $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Удвоенное большее число $2 \cdot 4 = 8$. Разница $25 - 8 = 17$, что соответствует условию.

Случай 2: Меньшее число $n = -3$.
Тогда большее число равно $n + 1 = -3 + 1 = -2$.
Искомая пара чисел: -3 и -2.
Проверка: Сумма квадратов $(-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$. Удвоенное большее число $2 \cdot (-2) = -4$. Разница $13 - (-4) = 13 + 4 = 17$, что также соответствует условию.

Ответ: 3 и 4; или -3 и -2.

641.Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 1.

Пусть первое искомое целое число равно $n$. Так как числа последовательные, то второе число будет $n + 1$.

Согласно условию задачи, сумма их квадратов равна 1. Мы можем составить следующее уравнение:

$n^2 + (n + 1)^2 = 1$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 1$

Сложим подобные члены в левой части уравнения:

$2n^2 + 2n + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$2n^2 + 2n = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2n$ за скобки:

$2n(n + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения для $n$:

1) $2n = 0 \implies n_1 = 0$

2) $n + 1 = 0 \implies n_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие пары последовательных чисел:

Если $n = 0$, то второе число равно $n + 1 = 0 + 1 = 1$. Первая пара чисел: (0, 1).

Если $n = -1$, то второе число равно $n + 1 = -1 + 1 = 0$. Вторая пара чисел: (-1, 0).

Проверим найденные решения:

Для пары (0, 1): $0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Верно.

Для пары (-1, 0): $(-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Верно.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 0 и 1; или -1 и 0.

642. При каком значении m не является квадратным уравнение:

1) $(m-4)x^2 + mx + 7 = 0;$

2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0;$

3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0?$`

Квадратное уравнение имеет общий вид $ax^2 + bx + c = 0$, где обязательным условием является неравенство нулю коэффициента $a$ при старшем члене (т.е. $a \neq 0$). Если этот коэффициент равен нулю, уравнение перестает быть квадратным и, как правило, становится линейным.

Чтобы найти значения параметра $m$, при которых данное уравнение не является квадратным, необходимо приравнять к нулю коэффициент при $x^2$ и решить полученное уравнение относительно $m$.

1) $(m - 4)x^2 + mx + 7 = 0$
В данном уравнении коэффициент при $x^2$ равен выражению $(m - 4)$. Чтобы уравнение не было квадратным, этот коэффициент должен быть равен нулю.
$m - 4 = 0$
Решая это простое уравнение, получаем:
$m = 4$
При $m = 4$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 4x + 7 = 0$, или $4x + 7 = 0$, что является линейным уравнением.
Ответ: при $m = 4$.

2) $(m^2 + 8m)x^2 + (m + 8)x + 10 = 0$
Коэффициент при $x^2$ здесь равен $(m^2 + 8m)$. Приравняем его к нулю:
$m^2 + 8m = 0$
Вынесем общий множитель $m$ за скобки:
$m(m + 8) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$m = 0$ или $m + 8 = 0$
Отсюда находим два значения для $m$:
$m_1 = 0$, $m_2 = -8$
Ответ: при $m = 0$ и $m = -8$.

3) $(m^2 - 81)x^2 - 6x + m = 0$
Коэффициент при $x^2$ в этом уравнении равен $(m^2 - 81)$. Приравняем его к нулю:
$m^2 - 81 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Можно перенести 81 в правую часть:
$m^2 = 81$
Либо можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(m - 9)(m + 9) = 0$
Из обоих способов получаем два решения:
$m_1 = 9$, $m_2 = -9$
Ответ: при $m = 9$ и $m = -9$.

643. Каким числом, положительным или отрицательным, является отличный от нуля корень неполного квадратного уравнения $ax^2 + bx = 0$, если:

1) $a > 0, b > 0;$

2) $a < 0, b > 0;$

3) $a > 0, b < 0;$

4) $a < 0, b < 0?$

Рассмотрим неполное квадратное уравнение $ax^2 + bx = 0$. По определению квадратного уравнения, коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Для нахождения корней этого уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(ax + b) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ или $ax + b = 0$.

В задаче требуется определить знак корня, отличного от нуля. Найдем этот корень из второго уравнения: $ax = -b$ $x_2 = -\frac{b}{a}$.

Знак корня $x_2$ зависит от знаков коэффициентов $a$ и $b$. Проанализируем каждый из предложенных случаев.

1) a > 0, b > 0;
Если $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0$, $b > 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ также будет положительным. Корень $x_2$ равен этому отношению, взятому с противоположным знаком: $x_2 = -\frac{b}{a}$. Следовательно, корень $x_2$ будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательным.

2) a < 0, b > 0;
Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), а $b$ — положительное ($b > 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ будет отрицательным (частное чисел с разными знаками). Корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ является числом, противоположным отрицательному, а значит, он будет положительным.
Ответ: положительным.

3) a > 0, b < 0;
Если $a$ — положительное число ($a > 0$), а $b$ — отрицательное ($b < 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ будет отрицательным. Корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ является числом, противоположным отрицательному, следовательно, он будет положительным.
Ответ: положительным.

4) a < 0, b < 0?
Если и $a$, и $b$ — отрицательные числа ($a < 0$, $b < 0$), то их отношение $\frac{b}{a}$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел). Корень $x_2 = -\frac{b}{a}$ равен этому отношению с противоположным знаком, а значит, он будет отрицательным.
Ответ: отрицательным.

644. Имеет ли корни неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:

1) $a > 0, c > 0$;

2) $a < 0, c > 0$;

3) $a > 0, c < 0$;

4) $a < 0, c < 0$?

Для того чтобы определить, имеет ли неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$ корни, выразим из него $x^2$.

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда значение выражения в правой части неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, для наличия корней должно выполняться условие:

$-\frac{c}{a} \ge 0$

Умножив обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства на противоположный:

$\frac{c}{a} \le 0$

Это неравенство справедливо, если $c=0$ или если коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки. Если знаки $a$ и $c$ одинаковы, то $\frac{c}{a} > 0$, и действительных корней у уравнения не будет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

1) a > 0, c > 0;

В этом случае оба коэффициента, $a$ и $c$, положительны. Они имеют одинаковые знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет положительным: $\frac{c}{a} > 0$. Это противоречит условию $\frac{c}{a} \le 0$. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

2) a < 0, c > 0;

Здесь коэффициент $a$ отрицателен, а $c$ положителен. Они имеют противоположные знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным: $\frac{c}{a} < 0$. Это удовлетворяет условию $\frac{c}{a} \le 0$. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным, и уравнение будет иметь два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

3) a > 0, c < 0;

Коэффициент $a$ положителен, а $c$ отрицателен. Они имеют противоположные знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет отрицательным: $\frac{c}{a} < 0$. Условие $\frac{c}{a} \le 0$ выполняется. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет положительным, и уравнение будет иметь два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

4) a < 0, c < 0?

В этом случае оба коэффициента, $a$ и $c$, отрицательны. Они имеют одинаковые знаки. Тогда их отношение $\frac{c}{a}$ будет положительным (частное двух отрицательных чисел): $\frac{c}{a} > 0$. Это противоречит условию $\frac{c}{a} \le 0$. Выражение $x^2 = -\frac{c}{a}$ будет отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

645. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

1) 0 и 4;

2) -1 и 1?

Исходное уравнение: $3x^2 - 2x + 4 + * = 0$.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (когда свободный член $c=0$) или $ax^2 + c = 0$ (когда коэффициент при $x$ равен нулю, $b=0$).

Обозначим многочлен, который нужно подставить вместо звёздочки, как $M(x)$.

1) 0 и 4;

Если один из корней квадратного уравнения равен нулю ($x_1=0$), то его свободный член равен нулю ($c=0$). Уравнение должно иметь вид $ax^2+bx=0$.

В исходном уравнении $3x^2 - 2x + 4 + M(x) = 0$ свободный член равен $4$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен $M(x)$ должен содержать слагаемое $-4$. Также $M(x)$ может содержать слагаемое с $x$, чтобы скорректировать второй корень. Пусть $M(x) = kx - 4$.

Подставим $M(x)$ в уравнение:

$3x^2 - 2x + 4 + (kx - 4) = 0$

$3x^2 - 2x + kx + 4 - 4 = 0$

$3x^2 + (k - 2)x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Найдем его корни. Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x + k - 2) = 0$

Отсюда первый корень $x_1 = 0$, что соответствует условию.

Второй корень находим из уравнения $3x + k - 2 = 0$:

$3x = 2 - k$

$x_2 = \frac{2 - k}{3}$

По условию, второй корень равен $4$. Приравняем:

$\frac{2 - k}{3} = 4$

$2 - k = 12$

$k = 2 - 12 = -10$

Теперь найдем искомый многочлен $M(x) = kx - 4$:

$M(x) = -10x - 4$

Ответ: $-10x - 4$

2) –1 и 1?

Если корни квадратного уравнения являются противоположными числами ($x_1 = -x_2$), то это уравнение вида $ax^2 + c = 0$. В нём коэффициент при первой степени $x$ равен нулю ($b=0$).

В исходном уравнении $3x^2 - 2x + 4 + M(x) = 0$ коэффициент при $x$ равен $-2$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен $M(x)$ должен содержать слагаемое $2x$. Также $M(x)$ может содержать константу для корректировки свободного члена. Пусть $M(x) = 2x + k$.

Подставим $M(x)$ в уравнение:

$3x^2 - 2x + 4 + (2x + k) = 0$

$3x^2 - 2x + 2x + 4 + k = 0$

$3x^2 + (4 + k) = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $k$, подставим в него один из корней, например $x = 1$:

$3(1)^2 + 4 + k = 0$

$3 + 4 + k = 0$

$7 + k = 0$

$k = -7$

Теперь найдем искомый многочлен $M(x) = 2x + k$:

$M(x) = 2x - 7$

Ответ: $2x - 7$

646. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении $x^2 + 5x - 1 + * = 0$, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

1) 0; -7;

2) -4; 4?

1) 0; -7;

Если один из корней квадратного уравнения равен нулю, а другой отличен от нуля, то это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+bx=0$, у которого свободный член равен нулю. В исходном уравнении $x^2+5x-1+*=0$ свободный член равен $-1$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен, заменяющий звёздочку, должен иметь вид $kx+1$. Подставим его в уравнение: $x^2+5x-1+(kx+1)=0$ $x^2+(5+k)x=0$ Корни этого уравнения $x_1=0$ и $x_2=-(5+k)$. По условию, второй корень равен $-7$. $-(5+k)=-7$ $5+k=7$ $k=2$ Следовательно, искомый многочлен — это $2x+1$.

Ответ: $2x+1$.

2) -4; 4?

Если корни квадратного уравнения являются противоположными числами (и не равны нулю), то это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$, у которого коэффициент при первой степени $x$ равен нулю. В исходном уравнении $x^2+5x-1+*=0$ коэффициент при $x$ равен $5$. Чтобы он стал равен нулю, многочлен, заменяющий звёздочку, должен иметь вид $-5x+d$. Подставим его в уравнение: $x^2+5x-1+(-5x+d)=0$ $x^2-1+d=0$ $x^2=1-d$ Корни этого уравнения $x=\pm\sqrt{1-d}$. По условию, корни равны $\pm4$. $\sqrt{1-d}=4$ $1-d=16$ $d=-15$ Следовательно, искомый многочлен — это $-5x-15$.

Ответ: $-5x-15$.

647. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3|x| = 0;$

2) $x^2 + |x| - 2x = 0;$

3) $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0;$

4) $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0.$

1) Заданное уравнение: $x^2 - 3|x| = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать уравнение в виде: $|x|^2 - 3|x| = 0$.
Вынесем $|x|$ за скобки: $|x|(|x| - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $|x| = 0$, откуда $x = 0$.
2. $|x| - 3 = 0$, откуда $|x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: -3; 0; 3.

2) Заданное уравнение: $x^2 + |x| - 2x = 0$.
Для решения этого уравнения рассмотрим два случая, в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 + x - 2x = 0$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - x - 2x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 3$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя решения из первого случая, получаем итоговые корни уравнения.
Ответ: 0; 1.

3) Заданное уравнение: $x^2 - \frac{|x|}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > 0$. При $x > 0$ имеем $|x| = x$, тогда дробь $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x = 1$.
Случай 2: $x < 0$. При $x < 0$ имеем $|x| = -x$, тогда дробь $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - (-1) = 0$
$x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1.

4) Заданное уравнение: $x^2 - \frac{2x^2}{|x|} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение:
$|x|^2 - \frac{2|x|^2}{|x|} = 0$.
Поскольку по ОДЗ $x \ne 0$, то и $|x| \ne 0$, мы можем сократить дробь на $|x|$: $|x|^2 - 2|x| = 0$.
Вынесем $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 2) = 0$.
Получаем два случая:
1. $|x| = 0$, откуда $x = 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$), поэтому он является посторонним.
2. $|x| - 2 = 0$, откуда $|x| = 2$. Это уравнение имеет два корня: $x = 2$ и $x = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Следовательно, у уравнения два корня.
Ответ: -2; 2.