Страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое уравнение называют линейным?

1. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение, которое можно привести к виду $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Также его часто записывают в эквивалентной форме $ax + b = 0$.

Ключевая особенность линейного уравнения состоит в том, что переменная $x$ входит в него только в первой степени. Это означает, что в уравнении нет $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$ и других более сложных функций от переменной.

Название "линейное" происходит от того, что график функции $y = kx + m$ (которая тесно связана с линейным уравнением) представляет собой прямую линию.

Количество решений линейного уравнения $ax = b$ напрямую зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$. Рассмотрим три возможных случая:

Случай 1: Коэффициент $a \neq 0$.
В этом случае уравнение имеет ровно один корень. Чтобы его найти, необходимо разделить обе части уравнения на $a$:
$x = \frac{b}{a}$
Например: В уравнении $3x = 12$, где $a=3$ и $b=12$, корень равен $x = \frac{12}{3} = 4$.

Случай 2: Коэффициенты $a = 0$ и $b = 0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным для любого значения $x$, поскольку умножение любого числа на ноль всегда дает в результате ноль. Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней (любое число является его решением).

Случай 3: Коэффициент $a = 0$, а $b \neq 0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Такое равенство невозможно, так как в левой части всегда будет ноль, а в правой — число, не равное нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Важно отметить, что понятие линейного уравнения распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, линейное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ имеет общий вид $ax + by = c$.

Ответ: Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида $ax = b$ (или приводимое к нему), где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа. В зависимости от значений $a$ и $b$, такое уравнение может иметь один корень ($a \neq 0$), бесконечно много корней ($a=0, b=0$) или не иметь корней ($a=0, b \neq 0$).

2. Какое уравнение называют уравнением первой степени?

Уравнением первой степени с одной переменной, также известным как линейное уравнение, называют уравнение, которое можно представить в общем виде: $ax + b = 0$

В этом выражении:

• $x$ — это переменная или неизвестное, значение которого нужно найти.
• $a$ и $b$ — это коэффициенты, то есть известные числа.

Ключевым условием для уравнения первой степени является то, что коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Если $a = 0$, то член с переменной $x$ исчезает, и уравнение превращается в $b = 0$, что перестает быть уравнением с переменной.

Название "уравнение первой степени" происходит от того, что наивысшая степень (показатель) переменной $x$ в этом уравнении равна единице ($x$ — это то же самое, что и $x^1$).

Решение и примеры

Любое уравнение первой степени с одной переменной имеет ровно один корень (решение), который находится по формуле $x = -\frac{b}{a}$. Эта формула получается путем преобразования исходного уравнения:
1. Переносим $b$ в правую часть: $ax = -b$.
2. Делим обе части на $a$: $x = -\frac{b}{a}$.

Пример 1: $5x - 20 = 0$
Здесь $a=5$, $b=-20$.
Решение: $x = - \frac{-20}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

Пример 2 (требует упрощения): $4x + 7 = 1 - 2x$
Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax+b=0$. Для этого перенесем все члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, а затем все в левую часть.
$4x + 2x + 7 - 1 = 0$
$6x + 6 = 0$
Теперь это уравнение стандартного вида, где $a=6$, $b=6$.
Решение: $x = -\frac{6}{6} = -1$.

Ответ: Уравнение первой степени — это уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$.

3. Приведите пример линейного уравнения, являющегося уравнением первой степени, и пример линейного уравнения, которое не является уравнением первой степени.

Для ответа на этот вопрос необходимо понимать разницу между терминами «линейное уравнение» и «уравнение первой степени».

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно привести к стандартному виду $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Уравнением первой степени называют частный случай линейного уравнения, а именно уравнение вида $ax + b = 0$, в котором коэффициент при переменной $x$ обязательно не равен нулю ($a \neq 0$).

Следовательно, каждое уравнение первой степени является линейным, но не каждое линейное уравнение является уравнением первой степени. Это происходит в том случае, когда коэффициент $a$ равен нулю.

Пример линейного уравнения, являющегося уравнением первой степени

Возьмем уравнение $5x - 15 = 0$.

Это уравнение соответствует виду $ax + b = 0$, где $a = 5$ и $b = -15$. Поскольку коэффициент при $x$ (то есть $a$) не равен нулю ($a = 5 \neq 0$), это уравнение является уравнением первой степени. Оно также является и линейным уравнением. Решением этого уравнения является $x = 3$.

Ответ: $5x - 15 = 0$.

Пример линейного уравнения, которое не является уравнением первой степени

Рассмотрим уравнение $7x + 8 = 7x - 1$.

Чтобы привести его к стандартному виду $ax + b = 0$, перенесем все члены в левую часть уравнения:

$7x - 7x + 8 - (-1) = 0$

$(7-7)x + (8+1) = 0$

$0 \cdot x + 9 = 0$

Уравнение приведено к виду $ax + b = 0$, где $a = 0$ и $b = 9$. Так как уравнение можно привести к этому виду, оно является линейным. Однако, поскольку коэффициент $a=0$, оно не является уравнением первой степени. В данном случае уравнение превращается в неверное равенство $9=0$ и не имеет решений.

Другой пример — уравнение $2(x+3) = 2x+6$, которое после преобразований дает $0 \cdot x + 0 = 0$. Это тоже линейное уравнение ($a=0, b=0$), но не первой степени, и оно имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $7x + 8 = 7x - 1$.

4. Какое уравнение называют квадратным?

Какое уравнение называют квадратным?

Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называют уравнение вида:
$ax^2 + bx + c = 0$
где $x$ — это переменная, $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты, причём ключевым условием является то, что старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Рассмотрим составляющие этого уравнения подробнее:

• $x$ — это неизвестная переменная, корень (или корни) которой нужно найти.
• $a$ — старший (или первый) коэффициент, стоящий при $x^2$. Если $a=0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным ($bx + c = 0$).
• $b$ — второй коэффициент, стоящий при $x$.
• $c$ — свободный член, то есть константа.

В зависимости от значений коэффициентов $b$ и $c$ квадратные уравнения делятся на несколько видов:

1. Полное квадратное уравнение
В этом типе уравнений все три коэффициента ($a, b, c$) отличны от нуля.
Пример: $2x^2 + 5x - 3 = 0$. Здесь $a=2$, $b=5$, $c=-3$.

2. Неполное квадратное уравнение
В этом типе уравнений хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ (или оба сразу) равен нулю.

• Если $c=0$, уравнение принимает вид $ax^2 + bx = 0$. Пример: $4x^2 - 16x = 0$.
• Если $b=0$, уравнение принимает вид $ax^2 + c = 0$. Пример: $3x^2 - 27 = 0$.
• Если и $b=0$, и $c=0$, уравнение принимает вид $ax^2 = 0$. Пример: $5x^2 = 0$.

3. Приведённое квадратное уравнение
Это частный случай квадратного уравнения, в котором старший коэффициент $a$ равен 1. Его общий вид:
$x^2 + px + q = 0$
Пример: $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Таким образом, главный отличительный признак квадратного уравнения — это наличие в нём слагаемого, содержащего переменную во второй степени ($x^2$).

Ответ: Квадратным уравнением называют уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, и при этом обязательно выполняется условие $a \neq 0$.

5. Как называют коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

В квадратном уравнении общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, каждый из них имеет свое определенное название.

Коэффициент $a$. Это коэффициент при старшей степени переменной ($x^2$). Его называют старшим или первым коэффициентом. Важным условием для квадратного уравнения является то, что $a \neq 0$, иначе уравнение вырождается в линейное.

Коэффициент $b$. Это коэффициент при переменной в первой степени ($x$). Его называют вторым коэффициентом.

Коэффициент $c$. Это член уравнения, не связанный с переменной. Его называют свободным членом.

Ответ: Коэффициент $a$ называется старшим (или первым) коэффициентом, коэффициент $b$ — вторым коэффициентом, а $c$ — свободным членом.

6. Какое квадратное уравнение называют приведённым?

Приведённым квадратным уравнением называют такое квадратное уравнение, в котором старший коэффициент (коэффициент при переменной во второй степени) равен единице.

Общий вид любого квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, и $a \neq 0$.
Если коэффициент $a=1$, то уравнение называется приведённым. Его вид принято записывать с использованием других букв для коэффициентов:
$x^2 + px + q = 0$
Здесь $p$ — второй коэффициент (аналог $b$), а $q$ — свободный член (аналог $c$).

Любое полное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 1$) можно превратить в приведённое. Для этого необходимо разделить все его члены на старший коэффициент $a$:
$\frac{ax^2}{a} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}$
В результате получается равносильное ему приведённое уравнение:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Пример:
Возьмём уравнение $4x^2 - 20x + 16 = 0$. Оно не является приведённым, так как старший коэффициент $a=4$.
Чтобы сделать его приведённым, разделим обе части уравнения на 4:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Это приведённое квадратное уравнение, которое имеет те же корни, что и исходное.

Основное преимущество приведённых уравнений заключается в удобстве применения для них теоремы Виета. Для уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы простые соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Это позволяет в некоторых случаях быстро находить корни устно.

Ответ: Приведённым называют квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, то есть такое, у которого коэффициент при старшем члене (при $x^2$) равен 1.

7. Какое квадратное уравнение называют неполным?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Такое уравнение называют полным, если все три коэффициента ($a, b, c$) отличны от нуля.

Неполным квадратным уравнением называют такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего ($a$), равен нулю. То есть, либо второй коэффициент $b=0$, либо свободный член $c=0$, либо оба они равны нулю.

Рассмотрим все возможные виды неполных квадратных уравнений.

1. Случай, когда $b = 0$, а $c \neq 0$

В этом случае общее уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ принимает вид:

$ax^2 + c = 0$

Пример: $2x^2 - 18 = 0$. Здесь $a=2$, $b=0$, $c=-18$.

2. Случай, когда $c = 0$, а $b \neq 0$

В этом случае общее уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ принимает вид:

$ax^2 + bx = 0$

Пример: $5x^2 + 10x = 0$. Здесь $a=5$, $b=10$, $c=0$.

3. Случай, когда и $b = 0$, и $c = 0$

В этом случае общее уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ принимает вид:

$ax^2 = 0$

Пример: $-7x^2 = 0$. Здесь $a=-7$, $b=0$, $c=0$.

Во всех трех случаях обязательным остается условие $a \neq 0$, так как в противном случае уравнение перестанет быть квадратным.

Ответ: Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ (второй коэффициент) или $c$ (свободный член) равен нулю.

8. Какие существуют виды неполных квадратных уравнений? Какие корни имеет уравнение каждого вида?

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего ($b$ или $c$), равен нулю. Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. Уравнение вида $ax^2 + c = 0$ (при $b=0, c \neq 0$)

В этом уравнении отсутствует член с $x$ в первой степени. Для его решения перенесем свободный член $c$ в правую часть уравнения и разделим обе части на коэффициент $a$:
$ax^2 = -c$
$x^2 = -\frac{c}{a}$

Дальнейшее решение зависит от знака выражения в правой части:

- Если $-\frac{c}{a} > 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки), уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

- Если $-\frac{c}{a} < 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: если знаки коэффициентов $a$ и $c$ разные, то уравнение имеет два корня $x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$ и $x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$; если знаки $a$ и $c$ одинаковые, то действительных корней нет.

2. Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (при $c=0, b \neq 0$)

В этом уравнении отсутствует свободный член $c$. Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(ax + b) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:
1) $x = 0$
2) $ax + b = 0$

Из первого случая сразу получаем первый корень $x_1 = 0$.
Решая второе линейное уравнение, находим второй корень:
$ax = -b$
$x_2 = -\frac{b}{a}$

Таким образом, уравнение этого вида всегда имеет два действительных корня, один из которых всегда равен нулю.

Ответ: уравнение всегда имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$.

3. Уравнение вида $ax^2 = 0$ (при $b=0$ и $c=0$)

В этом уравнении и коэффициент $b$, и свободный член $c$ равны нулю. Так как по определению квадратного уравнения $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $a$:
$x^2 = \frac{0}{a}$
$x^2 = 0$

Единственное число, квадрат которого равен нулю, это ноль. Следовательно, уравнение имеет единственный корень (иногда говорят о двух совпадающих корнях).

Ответ: уравнение имеет один корень $x=0$.

616. Укажите среди данных уравнений квадратные и назовите, чему равны старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член каждого из них:

1) $x = 0$;

2) $x^2 = 0$;

3) $x^2 + x = 0$;

4) $x^2 + 1 = 0$;

5) $x^2 - 4x + 2 = 0$;

6) $3x^3 - x^2 + 6 = 0$;

7) $-2x^2 + 7x - 8 = 0$;

8) $x^3 - x - 9 = 0$;

9) $6 - x^2 + 4x = 0$;

10) $-x^2 - 2x + 3 = 0$.

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем старший коэффициент $a \neq 0$.

В данном задании нужно найти квадратные уравнения среди предложенных и определить для каждого из них старший коэффициент ($a$), второй коэффициент ($b$) и свободный член ($c$).

Уравнения, которые не являются квадратными:

• 1) $x = 0$ — это линейное уравнение (старшая степень $x$ равна 1).
• 6) $3x^3 - x^2 + 6 = 0$ — это кубическое уравнение (старшая степень $x$ равна 3).
• 8) $x^3 - x - 9 = 0$ — это кубическое уравнение (старшая степень $x$ равна 3).

Квадратные уравнения и их коэффициенты:

2) $x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Чтобы определить коэффициенты, приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$.
Старший коэффициент $a = 1$.
Второй коэффициент $b = 0$.
Свободный член $c = 0$.
Ответ: старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен 0, свободный член равен 0.

3) $x^2 + x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду: $1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 0 = 0$.
Старший коэффициент $a = 1$.
Второй коэффициент $b = 1$.
Свободный член $c = 0$.
Ответ: старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен 1, свободный член равен 0.

4) $x^2 + 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду: $1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 = 0$.
Старший коэффициент $a = 1$.
Второй коэффициент $b = 0$.
Свободный член $c = 1$.
Ответ: старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен 0, свободный член равен 1.

5) $x^2 - 4x + 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение, уже записанное в стандартном виде.
Старший коэффициент $a = 1$.
Второй коэффициент $b = -4$.
Свободный член $c = 2$.
Ответ: старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен -4, свободный член равен 2.

7) $-2x^2 + 7x - 8 = 0$

Это полное квадратное уравнение в стандартном виде.
Старший коэффициент $a = -2$.
Второй коэффициент $b = 7$.
Свободный член $c = -8$.
Ответ: старший коэффициент равен -2, второй коэффициент равен 7, свободный член равен -8.

9) $6 - x^2 + 4x = 0$

Для определения коэффициентов приведем уравнение к стандартному виду, расположив члены в порядке убывания степеней $x$: $-x^2 + 4x + 6 = 0$.
Старший коэффициент $a = -1$.
Второй коэффициент $b = 4$.
Свободный член $c = 6$.
Ответ: старший коэффициент равен -1, второй коэффициент равен 4, свободный член равен 6.

10) $-x^2 - 2x + 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение в стандартном виде.
Старший коэффициент $a = -1$.
Второй коэффициент $b = -2$.
Свободный член $c = 3$.
Ответ: старший коэффициент равен -1, второй коэффициент равен -2, свободный член равен 3.

617. Составьте квадратное уравнение, в котором:

1) старший коэффициент равен 6, второй коэффициент равен 7, а свободный член равен 2;

2) старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен -8, а свободный член равен $- \frac{1}{3}$;

3) старший коэффициент равен -0,5, второй коэффициент равен 0, а свободный член равен $2\frac{3}{7}$;

4) старший коэффициент равен 7,2, второй коэффициент равен -2, а свободный член равен 0.

Общий вид квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ — второй коэффициент (коэффициент при $x$), а $c$ — свободный член. Для составления требуемых уравнений необходимо подставить заданные значения коэффициентов в эту общую формулу.

1) старший коэффициент равен 6, второй коэффициент равен 7, а свободный член равен 2;

В данном случае коэффициенты равны: $a = 6$, $b = 7$, $c = 2$.
Подставляем эти значения в общую формулу квадратного уравнения: $6x^2 + 7x + 2 = 0$.
Ответ: $6x^2 + 7x + 2 = 0$.

2) старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен –8, а свободный член равен $-\frac{1}{3}$;

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = -8$, $c = -\frac{1}{3}$.
Подстановка в общую формулу дает: $1 \cdot x^2 + (-8)x + (-\frac{1}{3}) = 0$.
После упрощения записи уравнение принимает вид: $x^2 - 8x - \frac{1}{3} = 0$.
Ответ: $x^2 - 8x - \frac{1}{3} = 0$.

3) старший коэффициент равен –0,5, второй коэффициент равен 0, а свободный член равен $2\frac{3}{7}$;

Заданные коэффициенты: $a = -0,5$, $b = 0$, $c = 2\frac{3}{7}$.
Подставляем их в формулу: $-0,5x^2 + 0 \cdot x + 2\frac{3}{7} = 0$.
Так как второй коэффициент равен нулю, член, содержащий $x$ в первой степени, отсутствует. Уравнение является неполным квадратным и упрощается до: $-0,5x^2 + 2\frac{3}{7} = 0$.
Ответ: $-0,5x^2 + 2\frac{3}{7} = 0$.

4) старший коэффициент равен 7,2, второй коэффициент равен –2, а свободный член равен 0.

Коэффициенты в этом случае: $a = 7,2$, $b = -2$, $c = 0$.
Подставляем значения: $7,2x^2 + (-2)x + 0 = 0$.
Так как свободный член равен нулю, это также неполное квадратное уравнение. Упрощенный вид: $7,2x^2 - 2x = 0$.
Ответ: $7,2x^2 - 2x = 0$.

618. Составьте квадратное уравнение, в котором:

1) старший коэффициент равен $-1$, второй коэффициент равен $-2$, а свободный член равен $1,6$;

2) старший коэффициент и свободный член равны $2$, а второй коэффициент равен $0$.

Общий вид квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ — второй коэффициент (коэффициент при $x$), а $c$ — свободный член. Чтобы составить уравнение, нужно подставить данные коэффициенты в эту формулу.

1) По условию даны следующие коэффициенты:
старший коэффициент $a = -1$,
второй коэффициент $b = -2$,
свободный член $c = 1,6$.
Подставляем эти значения в общую формулу $ax^2 + bx + c = 0$:
$(-1) \cdot x^2 + (-2) \cdot x + 1,6 = 0$
После упрощения получаем уравнение:
$-x^2 - 2x + 1,6 = 0$
Ответ: $-x^2 - 2x + 1,6 = 0$

2) По условию даны следующие коэффициенты:
старший коэффициент $a = 2$,
второй коэффициент $b = 0$,
свободный член $c = 2$.
Подставляем эти значения в общую формулу $ax^2 + bx + c = 0$:
$2 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 = 0$
После упрощения (член с коэффициентом 0 исчезает) получаем уравнение:
$2x^2 + 2 = 0$
Ответ: $2x^2 + 2 = 0$

619. Представьте данное уравнение в виде $ax^2 + bx + c = 0$, укажите значения коэффициентов $a, b$ и $c$:

1) $6x(3 - x) = 7 - 2x^2$;

2) $x(x + 1) = (x - 3)(7x + 2)$;

3) $(5x - 1)^2 = (x + 4)(x - 2)$;

4) $4x(x + 8) - (x - 6)(x + 6) = 0$.

1) $6x(3 - x) = 7 - 2x^2$

Чтобы привести данное уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки в левой части уравнения:

$6x \cdot 3 - 6x \cdot x = 7 - 2x^2$

$18x - 6x^2 = 7 - 2x^2$

2. Перенести все члены уравнения в одну сторону (например, в левую часть), чтобы с другой стороны остался ноль:

$18x - 6x^2 - 7 + 2x^2 = 0$

3. Сгруппировать и привести подобные слагаемые:

$(-6x^2 + 2x^2) + 18x - 7 = 0$

$-4x^2 + 18x - 7 = 0$

Теперь уравнение представлено в виде $ax^2 + bx + c = 0$. Определим коэффициенты:

$a = -4$, $b = 18$, $c = -7$.

Ответ: $-4x^2 + 18x - 7 = 0$; $a = -4$, $b = 18$, $c = -7$.

2) $x(x + 1) = (x - 3)(7x + 2)$

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + x = 7x^2 + 2x - 21x - 6$

2. Упростим правую часть, приведя подобные слагаемые:

$x^2 + x = 7x^2 - 19x - 6$

3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону (например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным):

$0 = 7x^2 - x^2 - 19x - x - 6$

4. Приведем подобные слагаемые:

$0 = 6x^2 - 20x - 6$

Запишем в стандартном виде:

$6x^2 - 20x - 6 = 0$

Теперь определим коэффициенты $a$, $b$ и $c$:

$a = 6$, $b = -20$, $c = -6$.

Ответ: $6x^2 - 20x - 6 = 0$; $a = 6$, $b = -20$, $c = -6$.

3) $(5x - 1)^2 = (x + 4)(x - 2)$

1. Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В правой части перемножим многочлены:

$(5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 4x - 8$

$25x^2 - 10x + 1 = x^2 + 2x - 8$

2. Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$25x^2 - 10x + 1 - x^2 - 2x + 8 = 0$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(25x^2 - x^2) + (-10x - 2x) + (1 + 8) = 0$

$24x^2 - 12x + 9 = 0$

Уравнение приведено к стандартному виду. Определим коэффициенты:

$a = 24$, $b = -12$, $c = 9$.

Ответ: $24x^2 - 12x + 9 = 0$; $a = 24$, $b = -12$, $c = 9$.

4) $4x(x + 8) - (x - 6)(x + 6) = 0$

1. Раскроем скобки. Для выражения $(x-6)(x+6)$ используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(4x^2 + 32x) - (x^2 - 6^2) = 0$

$4x^2 + 32x - (x^2 - 36) = 0$

2. Раскроем вторые скобки, обращая внимание на знак "минус" перед ними:

$4x^2 + 32x - x^2 + 36 = 0$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2) + 32x + 36 = 0$

$3x^2 + 32x + 36 = 0$

Уравнение представлено в стандартном виде. Определим коэффициенты:

$a = 3$, $b = 32$, $c = 36$.

Ответ: $3x^2 + 32x + 36 = 0$; $a = 3$, $b = 32$, $c = 36$.

620. Представьте данное уравнение в виде $ax^2 + bx + c = 0$, укажите значения коэффициентов a, b и c.

1) $x(x + 10) = 8x + 3$;

2) $(x + 2)^2 = 2x^2 + 4.$

1) $x(x + 10) = 8x + 3$

Чтобы привести данное уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, необходимо выполнить следующие преобразования.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $x$ на каждый член в скобках:
$x \cdot x + x \cdot 10 = 8x + 3$
$x^2 + 10x = 8x + 3$
Затем перенесем все члены из правой части уравнения в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы справа остался ноль:
$x^2 + 10x - 8x - 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые (члены с $x$):
$x^2 + (10 - 8)x - 3 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Теперь уравнение представлено в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$. Сравнивая его с полученным уравнением, мы можем определить коэффициенты:
- Коэффициент при $x^2$ это $a$. В нашем случае это $1$.
- Коэффициент при $x$ это $b$. В нашем случае это $2$.
- Свободный член это $c$. В нашем случае это $-3$.
Ответ: $x^2 + 2x - 3 = 0$; $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

2) $(x + 2)^2 = 2x^2 + 4$

Приведем данное уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.
Сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 2x^2 + 4$
$x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 4$
Теперь перенесем все члены в одну часть уравнения. Удобнее перенести все в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ остался положительным.
$0 = 2x^2 + 4 - (x^2 + 4x + 4)$
$0 = 2x^2 + 4 - x^2 - 4x - 4$
Приведем подобные слагаемые:
$0 = (2x^2 - x^2) - 4x + (4 - 4)$
$0 = x^2 - 4x$
Запишем уравнение в стандартном виде, поменяв части местами:
$x^2 - 4x = 0$
Чтобы явно видеть все три коэффициента, можно записать уравнение как $x^2 - 4x + 0 = 0$.
Сравнивая с $ax^2 + bx + c = 0$, определяем коэффициенты:
- $a = 1$
- $b = -4$
- $c = 0$ (так как свободный член отсутствует)
Ответ: $x^2 - 4x = 0$; $a=1$, $b=-4$, $c=0$.

621. Укажите, какие из данных уравнений являются приведёнными, и преобразуйте неприведённые уравнения в приведённые:

1) $x^2 - 5x + 34 = 0;$

2) $2x^2 + 6x + 8 = 0;$

3) $\frac{1}{3}x^2 + x - 5 = 0;$

4) $16 - 6x + x^2 = 0;$

5) $-x^2 + 8x - 7 = 0;$

6) $-0,2x^2 + 0,8x + 1 = 0.$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ называется приведённым, если его старший коэффициент $a$ (коэффициент при $x^2$) равен 1. Если коэффициент $a \ne 1$, уравнение называется неприведённым.
Чтобы преобразовать неприведённое уравнение в приведённое, необходимо разделить обе части уравнения на его старший коэффициент $a$.

1) $x^2 - 5x + 34 = 0$

Старший коэффициент $a$ в данном уравнении равен 1. Следовательно, это уравнение является приведённым.

Ответ: уравнение является приведённым.

2) $2x^2 + 6x + 8 = 0$

Старший коэффициент $a=2$. Уравнение является неприведённым. Чтобы привести его к приведённому виду, разделим каждый член уравнения на 2:
$\frac{2x^2}{2} + \frac{6x}{2} + \frac{8}{2} = \frac{0}{2}$
$x^2 + 3x + 4 = 0$

Ответ: уравнение является неприведённым; приведённый вид: $x^2 + 3x + 4 = 0$.

3) $\frac{1}{3}x^2 + x - 5 = 0$

Старший коэффициент $a=\frac{1}{3}$. Уравнение является неприведённым. Чтобы привести его к приведённому виду, разделим каждый член уравнения на $\frac{1}{3}$ (что равносильно умножению на 3):
$\frac{\frac{1}{3}x^2}{\frac{1}{3}} + \frac{x}{\frac{1}{3}} - \frac{5}{\frac{1}{3}} = \frac{0}{\frac{1}{3}}$
$x^2 + 3x - 15 = 0$

Ответ: уравнение является неприведённым; приведённый вид: $x^2 + 3x - 15 = 0$.

4) $16 - 6x + x^2 = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней $x$: $x^2 - 6x + 16 = 0$.
Старший коэффициент $a$ в данном уравнении равен 1. Следовательно, это уравнение является приведённым.

Ответ: уравнение является приведённым.

5) $-x^2 + 8x - 7 = 0$

Старший коэффициент $a=-1$. Уравнение является неприведённым. Чтобы привести его к приведённому виду, разделим каждый член уравнения на -1:
$\frac{-x^2}{-1} + \frac{8x}{-1} - \frac{7}{-1} = \frac{0}{-1}$
$x^2 - 8x + 7 = 0$

Ответ: уравнение является неприведённым; приведённый вид: $x^2 - 8x + 7 = 0$.

6) $-0,2x^2 + 0,8x + 1 = 0$

Старший коэффициент $a=-0,2$. Уравнение является неприведённым. Чтобы привести его к приведённому виду, разделим каждый член уравнения на -0,2:
$\frac{-0,2x^2}{-0,2} + \frac{0,8x}{-0,2} + \frac{1}{-0,2} = \frac{0}{-0,2}$
$x^2 - 4x - 5 = 0$

Ответ: уравнение является неприведённым; приведённый вид: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

622. Преобразуйте данное квадратное уравнение в приведённое:

1) $\frac{1}{6}x^2 - 2x - 3 = 0;$

2) $-4x^2 + 20x - 16 = 0;$

3) $3x^2 + x + 2 = 0.$

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) равен единице. Чтобы преобразовать полное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ в приведённое, необходимо разделить обе части уравнения на старший коэффициент $a$ (при условии, что $a \neq 0$).

1) Дано уравнение: $\frac{1}{6}x^2 - 2x - 3 = 0$.

Старший коэффициент в этом уравнении $a = \frac{1}{6}$. Чтобы сделать его равным единице, нужно умножить обе части уравнения на число, обратное коэффициенту $a$, то есть на 6.

$6 \cdot (\frac{1}{6}x^2 - 2x - 3) = 6 \cdot 0$

$6 \cdot \frac{1}{6}x^2 - 6 \cdot 2x - 6 \cdot 3 = 0$

$x^2 - 12x - 18 = 0$

Ответ: $x^2 - 12x - 18 = 0$.

2) Дано уравнение: $-4x^2 + 20x - 16 = 0$.

Старший коэффициент $a = -4$. Чтобы получить приведённое уравнение, разделим обе части уравнения на $-4$.

$\frac{-4x^2}{-4} + \frac{20x}{-4} - \frac{16}{-4} = \frac{0}{-4}$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Ответ: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

3) Дано уравнение: $3x^2 + x + 2 = 0$.

Старший коэффициент $a = 3$. Разделим обе части уравнения на 3.

$\frac{3x^2}{3} + \frac{x}{3} + \frac{2}{3} = \frac{0}{3}$

$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} = 0$

Ответ: $x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} = 0$.