Номер 1, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 160.

Условие.

1. Какое уравнение называют линейным?

Решение 2.

Решение 8.

1. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение, которое можно привести к виду $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Также его часто записывают в эквивалентной форме $ax + b = 0$.

Ключевая особенность линейного уравнения состоит в том, что переменная $x$ входит в него только в первой степени. Это означает, что в уравнении нет $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$ и других более сложных функций от переменной.

Название "линейное" происходит от того, что график функции $y = kx + m$ (которая тесно связана с линейным уравнением) представляет собой прямую линию.

Количество решений линейного уравнения $ax = b$ напрямую зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$. Рассмотрим три возможных случая:

Случай 1: Коэффициент $a \neq 0$.
В этом случае уравнение имеет ровно один корень. Чтобы его найти, необходимо разделить обе части уравнения на $a$:
$x = \frac{b}{a}$
Например: В уравнении $3x = 12$, где $a=3$ и $b=12$, корень равен $x = \frac{12}{3} = 4$.

Случай 2: Коэффициенты $a = 0$ и $b = 0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным для любого значения $x$, поскольку умножение любого числа на ноль всегда дает в результате ноль. Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней (любое число является его решением).

Случай 3: Коэффициент $a = 0$, а $b \neq 0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Такое равенство невозможно, так как в левой части всегда будет ноль, а в правой — число, не равное нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Важно отметить, что понятие линейного уравнения распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, линейное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ имеет общий вид $ax + by = c$.

Ответ: Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида $ax = b$ (или приводимое к нему), где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа. В зависимости от значений $a$ и $b$, такое уравнение может иметь один корень ($a \neq 0$), бесконечно много корней ($a=0, b=0$) или не иметь корней ($a=0, b \neq 0$).