Номер 12, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №4 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 12, страница 154.

Условие.

12. Упростите выражение $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})+(\sqrt{5}+1)^2-\sqrt{20}.$

А) 15

Б) 5

В) $10-\sqrt{5}$

Г) $10+5\sqrt{5}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для упрощения выражения $(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} + 1)^2 - \sqrt{20}$ необходимо выполнить действия последовательно, применяя формулы сокращенного умножения и свойства квадратных корней.

1. Упростим первое слагаемое $(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.

$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

2. Упростим второе слагаемое $(\sqrt{5} + 1)^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=\sqrt{5}$ и $b=1$.

$(\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.

3. Упростим вычитаемое $\sqrt{20}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня, представив 20 как произведение $4 \cdot 5$.

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

4. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} + 1)^2 - \sqrt{20} = -1 + (6 + 2\sqrt{5}) - 2\sqrt{5}$.

5. Выполним сложение и вычитание полученных членов:

$-1 + 6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 5 + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = 5 + 0 = 5$.

Ответ: 5.