Номер 11, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №4 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 11, страница 154.

Условие.

11. Сократите дробь $ \frac{a - 2}{a - 2\sqrt{2a} + 2} $.

А) $ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} $

Б) $ \frac{a + 2}{a - 2} $

В) $ 1 $

Г) $ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{2}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы сократить дробь $ \frac{a-2}{a - 2\sqrt{2a} + 2} $, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя

Числитель $a - 2$ можно представить как разность квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$. Данное преобразование возможно при условии $a \ge 0$. Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

$$ a - 2 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{2})(\sqrt{a} + \sqrt{2}) $$

Разложение знаменателя

Знаменатель $a - 2\sqrt{2a} + 2$ представляет собой полный квадрат разности. Чтобы убедиться в этом, используем формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Если положить $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{2}$, то получим:

$$ (\sqrt{a} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = a - 2\sqrt{2a} + 2 $$

Выражение полностью совпадает со знаменателем. Таким образом, знаменатель равен $(\sqrt{a} - \sqrt{2})^2$.

Сокращение дроби

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, подставим их обратно в дробь:

$$ \frac{a-2}{a - 2\sqrt{2a} + 2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{2})(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{(\sqrt{a} - \sqrt{2})^2} $$

Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{2})$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений выражения требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $(\sqrt{a} - \sqrt{2})^2 \ne 0$, откуда $a \ne 2$.

$$ \frac{(\cancel{\sqrt{a} - \sqrt{2}})(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{(\sqrt{a} - \sqrt{2})^{\cancel{2}}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} $$

Полученный результат совпадает с вариантом ответа А).

Ответ: А) $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2}}{\sqrt{a}-\sqrt{2}} $