Страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Упростите выражение $ \sqrt{9a} - \sqrt{16a} + \sqrt{64a} $.

А) $ 15\sqrt{a} $

Б) $ 15a $

В) $ 7\sqrt{a} $

Г) $ 7a $

Для упрощения выражения $\sqrt{9a} - \sqrt{16a} + \sqrt{64a}$ необходимо выполнить следующие шаги. Прежде всего, отметим, что выражение имеет смысл при $a \ge 0$.

1. Упрощение каждого члена выражения.
Мы можем вынести множители из-под знака корня, используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ для $x \ge 0, y \ge 0$.

• Первый член: $\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$
• Второй член: $\sqrt{16a} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a} = 4\sqrt{a}$
• Третий член: $\sqrt{64a} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a} = 8\sqrt{a}$

2. Подстановка упрощенных членов в исходное выражение.
После упрощения каждого члена выражение принимает вид:

$3\sqrt{a} - 4\sqrt{a} + 8\sqrt{a}$

3. Приведение подобных слагаемых.
Все три члена являются подобными, так как содержат общий множитель $\sqrt{a}$. Мы можем вынести его за скобки и сложить коэффициенты:

$(3 - 4 + 8)\sqrt{a}$

Выполняем действия в скобках:

$3 - 4 = -1$

$-1 + 8 = 7$

Таким образом, итоговое выражение равно:

$7\sqrt{a}$

Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: $7\sqrt{a}$

10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{12}{\sqrt{2}}$.

А) $\sqrt{2}$

Б) $4\sqrt{2}$

В) $6\sqrt{2}$

Г) $10\sqrt{2}$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на иррациональное выражение, стоящее в знаменателе. В данном случае это $\sqrt{2}$. Это действие не изменит значение дроби, так как мы, по сути, умножаем ее на единицу ($\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$).

Выполним умножение: $$ \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} $$

В знаменателе получаем произведение корней: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Подставим полученное значение в знаменатель дроби: $$ \frac{12\sqrt{2}}{2} $$

Теперь можно сократить дробь, разделив числитель 12 на знаменатель 2: $$ \frac{12}{2}\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$

Полученный результат $6\sqrt{2}$ соответствует варианту ответа В).

Ответ: $6\sqrt{2}$

11. Сократите дробь $ \frac{a - 2}{a - 2\sqrt{2a} + 2} $.

А) $ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} $

Б) $ \frac{a + 2}{a - 2} $

В) $ 1 $

Г) $ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{2}}{\sqrt{a} + \sqrt{2}} $

Для того чтобы сократить дробь $ \frac{a-2}{a - 2\sqrt{2a} + 2} $, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя

Числитель $a - 2$ можно представить как разность квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$. Данное преобразование возможно при условии $a \ge 0$. Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

$$ a - 2 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{2})(\sqrt{a} + \sqrt{2}) $$

Разложение знаменателя

Знаменатель $a - 2\sqrt{2a} + 2$ представляет собой полный квадрат разности. Чтобы убедиться в этом, используем формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Если положить $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{2}$, то получим:

$$ (\sqrt{a} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = a - 2\sqrt{2a} + 2 $$

Выражение полностью совпадает со знаменателем. Таким образом, знаменатель равен $(\sqrt{a} - \sqrt{2})^2$.

Сокращение дроби

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, подставим их обратно в дробь:

$$ \frac{a-2}{a - 2\sqrt{2a} + 2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{2})(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{(\sqrt{a} - \sqrt{2})^2} $$

Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{2})$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений выражения требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $(\sqrt{a} - \sqrt{2})^2 \ne 0$, откуда $a \ne 2$.

$$ \frac{(\cancel{\sqrt{a} - \sqrt{2}})(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{(\sqrt{a} - \sqrt{2})^{\cancel{2}}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{2}} $$

Полученный результат совпадает с вариантом ответа А).

Ответ: А) $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2}}{\sqrt{a}-\sqrt{2}} $

12. Упростите выражение $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})+(\sqrt{5}+1)^2-\sqrt{20}.$

А) 15

Б) 5

В) $10-\sqrt{5}$

Г) $10+5\sqrt{5}$

Для упрощения выражения $(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} + 1)^2 - \sqrt{20}$ необходимо выполнить действия последовательно, применяя формулы сокращенного умножения и свойства квадратных корней.

1. Упростим первое слагаемое $(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.

$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

2. Упростим второе слагаемое $(\sqrt{5} + 1)^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=\sqrt{5}$ и $b=1$.

$(\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.

3. Упростим вычитаемое $\sqrt{20}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня, представив 20 как произведение $4 \cdot 5$.

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

4. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} + 1)^2 - \sqrt{20} = -1 + (6 + 2\sqrt{5}) - 2\sqrt{5}$.

5. Выполним сложение и вычитание полученных членов:

$-1 + 6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 5 + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = 5 + 0 = 5$.

Ответ: 5.