Страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

586. Сравните числа:

1) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}};
2) $9$ и $\sqrt{82};$
3) $\sqrt{33}$ и $6;$
4) $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42};$
5) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7};$
6) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}.$

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$, нужно сравнить их подкоренные выражения, так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$. Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ и $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$. Поскольку $\frac{5}{15} > \frac{3}{15}$, то и $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

2) Для сравнения чисел 9 и $\sqrt{82}$ представим число 9 в виде корня. $9 = \sqrt{9^2} = \sqrt{81}$. Теперь сравним $\sqrt{81}$ и $\sqrt{82}$. Так как подкоренное выражение 81 меньше, чем 82, то и значение корня будет меньше: $\sqrt{81} < \sqrt{82}$. Следовательно, $9 < \sqrt{82}$.
Ответ: $9 < \sqrt{82}$.

3) Чтобы сравнить $\sqrt{33}$ и 6, представим число 6 в виде квадратного корня: $6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$. Теперь сравним подкоренные выражения: $33 < 36$. Так как функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{33} < \sqrt{36}$. Следовательно, $\sqrt{33} < 6$.
Ответ: $\sqrt{33} < 6$.

4) Для сравнения чисел $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$ внесем множитель 3 под знак корня в первом выражении: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{42}$. Так как $45 > 42$, то $\sqrt{45} > \sqrt{42}$. Следовательно, $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.
Ответ: $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

5) Чтобы сравнить $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$, внесем множитель 2 под знак корня во втором выражении: $2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$. Теперь сравним $\sqrt{30}$ и $\sqrt{28}$. Так как $30 > 28$, то $\sqrt{30} > \sqrt{28}$. Следовательно, $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

6) Для сравнения чисел $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$ внесем множители перед корнями под знаки корней.
Для первого числа: $7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$.
Для второго числа: $\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.
Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$. Так как $7 > 5$, то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$. Следовательно, $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.
Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

587. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ и прямой:

1) $y = 1$;
2) $y = 0,8$;
3) $y = -6$;
4) $y = 500$.

Для нахождения координат точки пересечения двух графиков, $y = f(x)$ и $y = g(x)$, необходимо решить систему уравнений. В нашем случае это означает, что мы должны приравнять выражения для $y$, чтобы найти координату $x$ точки пересечения. Координата $y$ уже будет известна из уравнения прямой.

Функция $y = \sqrt{x}$ имеет область определения $x \ge 0$ и область значений $y \ge 0$. Это означает, что значение $y$ не может быть отрицательным.

1) $y = 1$

Чтобы найти точку пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$, приравняем их правые части:
$\sqrt{x} = 1$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x})^2 = 1^2$
$x = 1$
Таким образом, абсцисса точки пересечения равна 1. Ордината точки пересечения задана уравнением прямой: $y = 1$.
Координаты точки пересечения: $(1; 1)$.
Ответ: $(1; 1)$.

2) $y = 0,8$

Приравниваем правые части уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = 0,8$:
$\sqrt{x} = 0,8$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (0,8)^2$
$x = 0,64$
Абсцисса точки пересечения равна 0,64. Ордината равна $y = 0,8$.
Координаты точки пересечения: $(0,64; 0,8)$.
Ответ: $(0,64; 0,8)$.

3) $y = -6$

Приравниваем правые части уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = -6$:
$\sqrt{x} = -6$
По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом. Его область значений — $y \ge 0$.
Так как правая часть уравнения (-6) является отрицательным числом, данное уравнение не имеет решений.
Следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ и прямая $y = -6$ не пересекаются.
Ответ: точек пересечения нет.

4) $y = 500$

Приравниваем правые части уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = 500$:
$\sqrt{x} = 500$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 500^2$
$x = 250000$
Абсцисса точки пересечения равна 250000. Ордината равна $y = 500$.
Координаты точки пересечения: $(250000; 500)$.
Ответ: $(250000; 500)$.

588. Запишите в порядке убывания числа: $8$; $\sqrt{62}$; $7,9$; $\sqrt{65}$; $8,2$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо их сравнить. Сравнивать числа, представленные в разных формах (десятичные дроби, целые числа, иррациональные числа), удобнее, если привести их к одному виду. В данном случае наиболее удобным способом является возведение всех чисел в квадрат. Поскольку все данные числа положительны, то чем больше квадрат числа, тем больше и само число.

Выполним возведение в квадрат для каждого из чисел:

$8^2 = 64$

$(\sqrt{62})^2 = 62$

$7,9^2 = 7,9 \cdot 7,9 = 62,41$

$(\sqrt{65})^2 = 65$

$8,2^2 = 8,2 \cdot 8,2 = 67,24$

Теперь у нас есть следующий набор квадратов исходных чисел: $64$; $62$; $62,41$; $65$; $67,24$.

Расположим эти значения в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему):

$67,24 > 65 > 64 > 62,41 > 62$

Так как квадраты чисел расположены в указанном порядке, то и сами исходные положительные числа будут располагаться в таком же порядке.

Заменим квадраты соответствующими им исходными числами:

$8,2 > \sqrt{65} > 8 > 7,9 > \sqrt{62}$

Таким образом, числа в порядке убывания записываются как $8,2$; $\sqrt{65}$; $8$; $7,9$; $\sqrt{62}$.

Ответ: $8,2$; $\sqrt{65}$; $8$; $7,9$; $\sqrt{62}$.

589. Запишите в порядке возрастания числа: $\sqrt{38}$; 6,1; 6; $\sqrt{35}$; 5,9.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Поскольку все числа положительные, их можно сравнить, сравнивая их квадраты. Если для положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $a < b$, то и для их квадратов будет выполняться неравенство $a^2 < b^2$.

Найдем квадраты каждого из чисел:

$(\sqrt{38})^2 = 38$

$(6,1)^2 = 6,1 \times 6,1 = 37,21$

$6^2 = 36$

$(\sqrt{35})^2 = 35$

$(5,9)^2 = 5,9 \times 5,9 = 34,81$

Теперь расположим полученные квадраты в порядке возрастания:

$34,81 < 35 < 36 < 37,21 < 38$

Это неравенство соответствует следующему порядку квадратов исходных чисел:

$(5,9)^2 < (\sqrt{35})^2 < 6^2 < (6,1)^2 < (\sqrt{38})^2$

Следовательно, сами числа в порядке возрастания располагаются так:

$5,9 < \sqrt{35} < 6 < 6,1 < \sqrt{38}$

Ответ: 5,9; $\sqrt{35}$; 6; 6,1; $\sqrt{38}$.

590. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{3}$;

3) $\sqrt{5}$;

4) $\sqrt{7}$;

5) $\sqrt{13}$;

6) $\sqrt{0,98}$;

7) $\sqrt{59}$;

8) $-\sqrt{115}$;

9) $-\sqrt{76,19}$?

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\sqrt{2}$, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых находятся по обе стороны от 2. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Так как $1 < 2 < 4$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, что равносильно $1 < \sqrt{2} < 2$. Следовательно, число $\sqrt{2}$ находится между числами 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

2) Для числа $\sqrt{3}$ ищем последовательные целые числа, квадраты которых "окружают" число 3. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку $1 < 3 < 4$, то, извлекая квадратный корень, получаем $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, или $1 < \sqrt{3} < 2$. Таким образом, число $\sqrt{3}$ находится между 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

3) Для числа $\sqrt{5}$ рассмотрим квадраты последовательных целых чисел. $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Так как $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{5} < 3$. Значит, число $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

4) Для числа $\sqrt{7}$ используем тот же подход. $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Поскольку $4 < 7 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{7} < 3$. Следовательно, число $\sqrt{7}$ находится между 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

5) Для числа $\sqrt{13}$ найдем ближайшие к 13 полные квадраты. Это $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Из неравенства $9 < 13 < 16$ следует, что $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$, или $3 < \sqrt{13} < 4$. Число $\sqrt{13}$ находится между 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

6) Для числа $\sqrt{0,98}$ рассмотрим квадраты целых чисел, близких к 0,98. $0^2 = 0$ и $1^2 = 1$. Так как $0 < 0,98 < 1$, то $\sqrt{0} < \sqrt{0,98} < \sqrt{1}$, что означает $0 < \sqrt{0,98} < 1$. Таким образом, число $\sqrt{0,98}$ находится между 0 и 1.

Ответ: 0 и 1.

7) Для числа $\sqrt{59}$ ищем ближайшие полные квадраты. $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$. Так как $49 < 59 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{59} < \sqrt{64}$, то есть $7 < \sqrt{59} < 8$. Число $\sqrt{59}$ находится между 7 и 8.

Ответ: 7 и 8.

8) Для отрицательного числа $-\sqrt{115}$ сначала найдем оценку для $\sqrt{115}$. Ближайшие полные квадраты к 115 это $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$. Из неравенства $100 < 115 < 121$ следует, что $10 < \sqrt{115} < 11$. Умножив все части неравенства на -1, мы меняем знаки неравенства на противоположные: $-10 > -\sqrt{115} > -11$. Запишем в привычном порядке: $-11 < -\sqrt{115} < -10$. Следовательно, число $-\sqrt{115}$ находится между -11 и -10.

Ответ: -11 и -10.

9) Для числа $-\sqrt{76,19}$ сначала оценим $\sqrt{76,19}$. Ближайшие полные квадраты к 76,19 это $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$. Так как $64 < 76,19 < 81$, то $8 < \sqrt{76,19} < 9$. Умножим неравенство на -1, чтобы получить оценку для $-\sqrt{76,19}$: $-8 > -\sqrt{76,19} > -9$. Запишем в порядке возрастания: $-9 < -\sqrt{76,19} < -8$. Таким образом, число $-\sqrt{76,19}$ находится между -9 и -8.

Ответ: -9 и -8.

591. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt{6}$;

2) $\sqrt{19}$;

3) $\sqrt{29}$;

4) $\sqrt{160}$;

5) $-\sqrt{86}$;

6) $-\sqrt{30.5}$?

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $ \sqrt{6} $, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 6.
Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел: $ 1^2 = 1 $, $ 2^2 = 4 $, $ 3^2 = 9 $.
Мы видим, что $ 4 < 6 < 9 $.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 2^2 < 6 < 3^2 $.
Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $ \sqrt{2^2} < \sqrt{6} < \sqrt{3^2} $, что равносильно $ 2 < \sqrt{6} < 3 $.
Следовательно, число $ \sqrt{6} $ находится между числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

2) Для числа $ \sqrt{19} $ найдем ближайшие к 19 квадраты целых чисел.
Рассмотрим квадраты: $ 4^2 = 16 $, $ 5^2 = 25 $.
Поскольку $ 16 < 19 < 25 $, то справедливо неравенство $ 4^2 < 19 < 5^2 $.
Извлекая квадратный корень, получаем $ \sqrt{4^2} < \sqrt{19} < \sqrt{5^2} $, или $ 4 < \sqrt{19} < 5 $.
Значит, число $ \sqrt{19} $ находится между числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

3) Для числа $ \sqrt{29} $ найдем ближайшие к 29 квадраты целых чисел.
Рассмотрим квадраты: $ 5^2 = 25 $, $ 6^2 = 36 $.
Так как $ 25 < 29 < 36 $, то $ 5^2 < 29 < 6^2 $.
Извлекая квадратный корень, получаем $ \sqrt{5^2} < \sqrt{29} < \sqrt{6^2} $, то есть $ 5 < \sqrt{29} < 6 $.
Следовательно, число $ \sqrt{29} $ находится между числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

4) Для числа $ \sqrt{160} $ найдем ближайшие к 160 квадраты целых чисел.
Рассмотрим квадраты: $ 12^2 = 144 $, $ 13^2 = 169 $.
Поскольку $ 144 < 160 < 169 $, то $ 12^2 < 160 < 13^2 $.
Извлекая квадратный корень, получаем $ \sqrt{12^2} < \sqrt{160} < \sqrt{13^2} $, или $ 12 < \sqrt{160} < 13 $.
Значит, число $ \sqrt{160} $ находится между числами 12 и 13.
Ответ: 12 и 13.

5) Для отрицательного числа $ -\sqrt{86} $ сначала определим, между какими целыми числами находится положительное число $ \sqrt{86} $.
Найдем ближайшие к 86 квадраты целых чисел: $ 9^2 = 81 $, $ 10^2 = 100 $.
Так как $ 81 < 86 < 100 $, то $ 9^2 < 86 < 10^2 $.
Извлекая корень, получаем $ 9 < \sqrt{86} < 10 $.
Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $ -10 < -\sqrt{86} < -9 $.
Следовательно, число $ -\sqrt{86} $ находится между числами -10 и -9.
Ответ: -10 и -9.

6) Для отрицательного числа $ -\sqrt{30,5} $ сначала определим, между какими целыми числами находится $ \sqrt{30,5} $.
Найдем ближайшие к 30,5 квадраты целых чисел: $ 5^2 = 25 $, $ 6^2 = 36 $.
Поскольку $ 25 < 30,5 < 36 $, то $ 5^2 < 30,5 < 6^2 $.
Извлекая корень, получаем $ 5 < \sqrt{30,5} < 6 $.
Умножим неравенство на -1, меняя знаки на противоположные: $ -6 < -\sqrt{30,5} < -5 $.
Таким образом, число $ -\sqrt{30,5} $ находится между числами -6 и -5.
Ответ: -6 и -5.

592. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) $3$ и $\sqrt{68};$

2) $\sqrt{7}$ и $\sqrt{77};$

3) $-\sqrt{31}$ и $-2,3;$

4) $-\sqrt{42}$ и $2,8.$

1) 3 и $\sqrt{68}$

Чтобы найти все целые числа, расположенные между $3$ и $\sqrt{68}$, необходимо оценить значение $\sqrt{68}$.

Найдем квадраты ближайших целых чисел:

$8^2 = 64$

$9^2 = 81$

Поскольку $64 < 68 < 81$, мы можем заключить, что $\sqrt{64} < \sqrt{68} < \sqrt{81}$, и, следовательно, $8 < \sqrt{68} < 9$.

Таким образом, мы ищем все целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $3 < x < \sqrt{68}$.

Так как $\sqrt{68}$ находится между 8 и 9, это неравенство эквивалентно поиску целых чисел, которые больше 3 и меньше 9. Это числа: 4, 5, 6, 7, 8.

Ответ: 4, 5, 6, 7, 8.

2) $\sqrt{7}$ и $\sqrt{77}$

Чтобы найти все целые числа между $\sqrt{7}$ и $\sqrt{77}$, оценим значения этих корней.

Для $\sqrt{7}$:

$2^2 = 4$

$3^2 = 9$

Так как $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$.

Для $\sqrt{77}$:

$8^2 = 64$

$9^2 = 81$

Так как $64 < 77 < 81$, то $8 < \sqrt{77} < 9$.

Мы ищем целые числа $x$ в интервале $(\sqrt{7}, \sqrt{77})$. Это означает, что $x$ должно быть больше $\sqrt{7}$ (которое больше 2) и меньше $\sqrt{77}$ (которое меньше 9). Первое целое число, большее $\sqrt{7}$, это 3. Последнее целое число, меньшее $\sqrt{77}$, это 8.

Следовательно, искомые целые числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Ответ: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3) $-\sqrt{31}$ и $-2,3$

Найдем все целые числа между $-\sqrt{31}$ и $-2,3$. Сначала оценим значение $-\sqrt{31}$.

$5^2 = 25$

$6^2 = 36$

Поскольку $25 < 31 < 36$, то $5 < \sqrt{31} < 6$. Умножая на -1, мы меняем знаки неравенства: $-6 < -\sqrt{31} < -5$.

Нам нужно найти целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{31} < x < -2,3$.

Так как $-\sqrt{31}$ находится между -6 и -5, то первое целое число, большее $-\sqrt{31}$, это -5. Целые числа, которые также меньше -2,3, это -5, -4, -3.

Ответ: -5, -4, -3.

4) $-\sqrt{42}$ и $2,8$

Найдем все целые числа между $-\sqrt{42}$ и $2,8$. Оценим значение $-\sqrt{42}$.

$6^2 = 36$

$7^2 = 49$

Поскольку $36 < 42 < 49$, то $6 < \sqrt{42} < 7$. Умножая на -1, получаем $-7 < -\sqrt{42} < -6$.

Мы ищем целые числа $x$ в интервале $(-\sqrt{42}, 2,8)$.

Так как $-\sqrt{42}$ находится между -7 и -6, то первое целое число, большее $-\sqrt{42}$, это -6. Последнее целое число, меньшее 2,8, это 2.

Следовательно, искомые целые числа: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

593. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) $ \sqrt{3} $ и $ \sqrt{13} $;

2) $ \sqrt{10} $ и $ \sqrt{90} $;

3) $ -\sqrt{145} $ и $ -\sqrt{47} $.

Для решения этой задачи нам нужно найти все целые числа, которые находятся между двумя заданными числами на координатной прямой. Для этого мы оценим значения квадратных корней, чтобы определить границы интервалов, в которых лежат эти числа.

1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{13}$

Чтобы найти целые числа между $\sqrt{3}$ и $\sqrt{13}$, оценим значения этих корней.
Найдем ближайшие к 3 квадраты целых чисел: $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$.
Так как $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$.
Теперь найдем ближайшие к 13 квадраты целых чисел: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Так как $9 < 13 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$, следовательно $3 < \sqrt{13} < 4$.
Мы ищем целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $\sqrt{3} < x < \sqrt{13}$.
Подставляя оценки, получаем: $1,...\; < x < 3,...$ .
Целые числа, которые больше 1, но меньше 4, — это 2 и 3.
Другой способ — возвести все части неравенства в квадрат (это возможно, так как все числа положительны):
$(\sqrt{3})^2 < x^2 < (\sqrt{13})^2$
$3 < x^2 < 13$
Теперь найдем целые числа, квадраты которых находятся между 3 и 13. Это $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Значит, искомые числа — 2 и 3.
Ответ: 2, 3.

2) $\sqrt{10}$ и $\sqrt{90}$

Оценим значения корней $\sqrt{10}$ и $\sqrt{90}$.
Для $\sqrt{10}$: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Так как $9 < 10 < 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.
Для $\sqrt{90}$: $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$. Так как $81 < 90 < 100$, то $9 < \sqrt{90} < 10$.
Ищем целые числа $x$ в интервале $\sqrt{10} < x < \sqrt{90}$.
Подставляя оценки, получаем: $3,...\; < x < 9,...$ .
Целые числа, которые больше 3, но меньше 10, — это 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Проверим возведением в квадрат:
$10 < x^2 < 90$
Квадраты целых чисел в этом диапазоне: $4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81$. Соответственно, искомые числа — 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3) $-\sqrt{145}$ и $-\sqrt{47}$

На координатной прямой число $-\sqrt{145}$ находится левее числа $-\sqrt{47}$. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{145} < x < -\sqrt{47}$.
Сначала оценим положительные корни.
Для $\sqrt{145}$: $12^2 = 144$ и $13^2 = 169$. Так как $144 < 145 < 169$, то $12 < \sqrt{145} < 13$. Следовательно, $-13 < -\sqrt{145} < -12$.
Для $\sqrt{47}$: $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Так как $36 < 47 < 49$, то $6 < \sqrt{47} < 7$. Следовательно, $-7 < -\sqrt{47} < -6$.
Наше неравенство принимает вид: $-12,...\; < x < -6,...$ .
Целые числа, которые удовлетворяют этому условию: -12, -11, -10, -9, -8, -7.
Проверим другим способом. Умножим неравенство на -1, изменив знаки на противоположные:
$\sqrt{47} < -x < \sqrt{145}$
Пусть $y = -x$, тогда $y$ — положительное целое число. Возведем в квадрат:
$47 < y^2 < 145$
Найдем квадраты целых чисел в этом диапазоне: $7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100, 11^2=121, 12^2=144$.
Значит, $y$ может быть равен 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Поскольку $x = -y$, то искомые числа: -7, -8, -9, -10, -11, -12. Упорядочив их, получаем тот же результат.
Ответ: -12, -11, -10, -9, -8, -7.

594. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} \ge 2;$

2) $\sqrt{x} < 4;$

3) $6 \le \sqrt{x} < 9?$

1) Исходное неравенство: $\sqrt{x} \ge 2$.
Для того чтобы неравенство имело смысл, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $x \ge 0$.
Обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 2) являются неотрицательными. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.
$(\sqrt{x})^2 \ge 2^2$
$x \ge 4$
Теперь необходимо учесть ОДЗ. Мы получили систему из двух неравенств:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x \ge 4$.
Ответ: $x \ge 4$ (или в виде промежутка $x \in [4; +\infty)$).

2) Исходное неравенство: $\sqrt{x} < 4$.
Определим ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства.
$(\sqrt{x})^2 < 4^2$
$x < 16$
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 16 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является двойное неравенство $0 \le x < 16$.
Ответ: $0 \le x < 16$ (или в виде промежутка $x \in [0; 16)$).

3) Исходное двойное неравенство: $6 \le \sqrt{x} < 9$.
ОДЗ для этого неравенства также $x \ge 0$.
Все три части двойного неравенства ($6$, $\sqrt{x}$ и $9$) являются положительными. Мы можем возвести все части в квадрат, при этом знаки неравенств сохранятся.
$6^2 \le (\sqrt{x})^2 < 9^2$
$36 \le x < 81$
Полученный интервал $36 \le x < 81$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), так как все значения $x$ в этом интервале положительны.
Ответ: $36 \le x < 81$ (или в виде промежутка $x \in [36; 81)$).

595. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} < 8;$

2) $\sqrt{x} > 7;$

3) $10 < \sqrt{x} \le 20?$

1) Чтобы решить неравенство $\sqrt{x} \le 8$, в первую очередь необходимо учесть Область Допустимых Значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.

Далее, поскольку обе части неравенства $\sqrt{x} \le 8$ неотрицательны ( $\sqrt{x}$ по определению, а 8 - положительное число), мы можем возвести обе части в квадрат. Знак неравенства при этом не изменится:

$(\sqrt{x})^2 \le 8^2$

$x \le 64$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 64 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток от 0 до 64, включая концы.

Ответ: $x \in [0; 64]$.

2) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} > 7$.

ОДЗ для этого неравенства: $x \ge 0$.

Обе части неравенства $\sqrt{x} > 7$ являются положительными числами. Поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x})^2 > 7^2$

$x > 49$

Полученное решение $x > 49$ удовлетворяет ОДЗ (так как любое число больше 49 автоматически больше или равно 0). Следовательно, это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in (49; +\infty)$.

3) Решим двойное неравенство $10 \le \sqrt{x} \le 20$.

ОДЗ для этого неравенства также $x \ge 0$.

Все три части данного двойного неравенства ($10$, $\sqrt{x}$ и $20$) неотрицательны. Это позволяет нам возвести все части в квадрат, при этом знаки неравенств сохранятся:

$10^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 20^2$

$100 \le x \le 400$

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ, так как все значения $x$ из промежутка $[100; 400]$ неотрицательны.

Ответ: $x \in [100; 400]$.

596. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = x;$

2) $\sqrt{x} = x^2;$

3) $\sqrt{x} = x + 2;$

4) $\sqrt{x} = 0,5x + 0,5;$

5) $\sqrt{x} = \frac{8}{x};$

6) $\sqrt{x} = 1,5 - 0,5x.$

1) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x$ графическим методом, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Oy$ параболе $x = y^2$. Он начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1) и (4, 2).

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, 1).

При построении этих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в двух точках: O(0, 0) и A(1, 1). Абсциссы этих точек $x=0$ и $x=1$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x=0; x=1$.

2) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x^2$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Так как область определения функции $y=\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$, нас интересует только правая часть параболы $y=x^2$, которая проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 4).

Графики пересекаются в двух точках с координатами (0, 0) и (1, 1). Следовательно, решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x=0; x=1$.

3) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x + 2$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 2$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат.

График функции $y = x + 2$ — это прямая, которая пересекает ось $y$ в точке (0, 2) и ось $x$ в точке (-2, 0).

Построив оба графика, мы видим, что они не имеют общих точек. График прямой $y = x + 2$ расположен полностью выше графика $y = \sqrt{x}$ для всех $x \ge 0$.

Ответ: решений нет.

4) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5x + 0,5$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 0,5x + 0,5$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 0,5x + 0,5$ — это прямая, проходящая через точки (-1, 0) и (1, 1).

При построении графиков можно увидеть, что прямая касается графика функции $y = \sqrt{x}$ в одной точке с координатами (1, 1). Это их единственная общая точка. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.

Ответ: $x=1$.

5) Для решения уравнения $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{8}{x}$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это возрастающая функция (ветвь параболы). Область определения $x \ge 0$.

График функции $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола. Поскольку $x$ должен быть положительным ($x > 0$ из-за области определения $\sqrt{x}$ и знаменателя), нас интересует только ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Эта функция является убывающей и проходит через точки (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1).

Так как одна функция возрастает, а другая убывает на области $x > 0$, они могут иметь не более одной точки пересечения. Построив графики, легко заметить, что они пересекаются в точке с координатами (4, 2).

Ответ: $x=4$.

6) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 1,5 - 0,5x$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1,5 - 0,5x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это возрастающая функция, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 1,5 - 0,5x$ — это убывающая прямая, которая пересекает оси координат в точках (0, 1.5) и (3, 0). Она также проходит через точку (1, 1).

Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ возрастает при $x \ge 0$, а функция $y = 1,5 - 0,5x$ убывает, их графики могут пересечься только в одной точке. Из построения видно, что это точка с координатами (1, 1).

Ответ: $x=1$.

597. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x}=-x-1;$

2) $\sqrt{x}=2-x;$

3) $\sqrt{x}=\frac{1}{x}.$

1) Для решения уравнения $\sqrt{x} = -x - 1$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 1$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2). Эта функция определена для $x \ge 0$ и её значения всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$. Таким образом, её график расположен в первой координатной четверти.
График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки: при $x = 0$, $y = -1$ (точка (0, -1)), и при $x = -1$, $y = 0$ (точка (-1, 0)).
Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения требует одновременного выполнения двух условий: $x \ge 0$ (из-за наличия $\sqrt{x}$) и $-x - 1 \ge 0$ (поскольку значение арифметического корня не может быть отрицательным). Второе неравенство преобразуется к виду $x \le -1$. Система неравенств $\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le -1 \end{cases}$ не имеет решений.
Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл. На графике это отражается в том, что кривая $y = \sqrt{x}$ и прямая $y = -x - 1$ не имеют точек пересечения.
Ответ: нет корней.

2) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 2 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0, 0) и проходящая через точки (1, 1), (4, 2).
График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Найдём точки для её построения: при $x = 0$, $y = 2$ (точка (0, 2)), и при $x = 2$, $y = 0$ (точка (2, 0)).
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из графика легко определить координаты этой точки — (1, 1).
Для проверки подставим значение $x=1$ в оба исходных выражения для $y$:
1) $y = \sqrt{1} = 1$.
2) $y = 2 - 1 = 1$.
Поскольку значения $y$ совпали, точка (1, 1) действительно является точкой пересечения. Решением исходного уравнения является абсцисса этой точки.
Ответ: $x=1$.

3) Для решения уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x > 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель дроби не может быть равен нулю.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и проходящая через (1,1), (4,2).
График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Учитывая ОДЗ ($x>0$), нас интересует только её ветвь в первой координатной четверти. Она проходит через точки (0.5, 2), (1, 1), (2, 0.5).
Нанеся оба графика на координатную плоскость, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка — (1, 1).
Проверим:
1) Для $y=\sqrt{x}$, при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$.
2) Для $y=\frac{1}{x}$, при $x=1$, $y=\frac{1}{1}=1$.
Точка найдена верно. Решением уравнения является абсцисса точки пересечения.
Ответ: $x=1$.