Номер 586, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 586, страница 148.

Условие.

586. Сравните числа:

1) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}};
2) $9$ и $\sqrt{82};$
3) $\sqrt{33}$ и $6;$
4) $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42};$
5) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7};$
6) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$, нужно сравнить их подкоренные выражения, так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$. Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15: $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ и $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$. Поскольку $\frac{5}{15} > \frac{3}{15}$, то и $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

2) Для сравнения чисел 9 и $\sqrt{82}$ представим число 9 в виде корня. $9 = \sqrt{9^2} = \sqrt{81}$. Теперь сравним $\sqrt{81}$ и $\sqrt{82}$. Так как подкоренное выражение 81 меньше, чем 82, то и значение корня будет меньше: $\sqrt{81} < \sqrt{82}$. Следовательно, $9 < \sqrt{82}$.
Ответ: $9 < \sqrt{82}$.

3) Чтобы сравнить $\sqrt{33}$ и 6, представим число 6 в виде квадратного корня: $6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$. Теперь сравним подкоренные выражения: $33 < 36$. Так как функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{33} < \sqrt{36}$. Следовательно, $\sqrt{33} < 6$.
Ответ: $\sqrt{33} < 6$.

4) Для сравнения чисел $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$ внесем множитель 3 под знак корня в первом выражении: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{42}$. Так как $45 > 42$, то $\sqrt{45} > \sqrt{42}$. Следовательно, $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.
Ответ: $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

5) Чтобы сравнить $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$, внесем множитель 2 под знак корня во втором выражении: $2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$. Теперь сравним $\sqrt{30}$ и $\sqrt{28}$. Так как $30 > 28$, то $\sqrt{30} > \sqrt{28}$. Следовательно, $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

6) Для сравнения чисел $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$ внесем множители перед корнями под знаки корней.
Для первого числа: $7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$.
Для второго числа: $\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.
Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$. Так как $7 > 5$, то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$. Следовательно, $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.
Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.