Номер 591, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 591, страница 148.

Условие.

591. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt{6}$;

2) $\sqrt{19}$;

3) $\sqrt{29}$;

4) $\sqrt{160}$;

5) $-\sqrt{86}$;

6) $-\sqrt{30.5}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $ \sqrt{6} $, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 6.
Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел: $ 1^2 = 1 $, $ 2^2 = 4 $, $ 3^2 = 9 $.
Мы видим, что $ 4 < 6 < 9 $.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 2^2 < 6 < 3^2 $.
Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $ \sqrt{2^2} < \sqrt{6} < \sqrt{3^2} $, что равносильно $ 2 < \sqrt{6} < 3 $.
Следовательно, число $ \sqrt{6} $ находится между числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

2) Для числа $ \sqrt{19} $ найдем ближайшие к 19 квадраты целых чисел.
Рассмотрим квадраты: $ 4^2 = 16 $, $ 5^2 = 25 $.
Поскольку $ 16 < 19 < 25 $, то справедливо неравенство $ 4^2 < 19 < 5^2 $.
Извлекая квадратный корень, получаем $ \sqrt{4^2} < \sqrt{19} < \sqrt{5^2} $, или $ 4 < \sqrt{19} < 5 $.
Значит, число $ \sqrt{19} $ находится между числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

3) Для числа $ \sqrt{29} $ найдем ближайшие к 29 квадраты целых чисел.
Рассмотрим квадраты: $ 5^2 = 25 $, $ 6^2 = 36 $.
Так как $ 25 < 29 < 36 $, то $ 5^2 < 29 < 6^2 $.
Извлекая квадратный корень, получаем $ \sqrt{5^2} < \sqrt{29} < \sqrt{6^2} $, то есть $ 5 < \sqrt{29} < 6 $.
Следовательно, число $ \sqrt{29} $ находится между числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

4) Для числа $ \sqrt{160} $ найдем ближайшие к 160 квадраты целых чисел.
Рассмотрим квадраты: $ 12^2 = 144 $, $ 13^2 = 169 $.
Поскольку $ 144 < 160 < 169 $, то $ 12^2 < 160 < 13^2 $.
Извлекая квадратный корень, получаем $ \sqrt{12^2} < \sqrt{160} < \sqrt{13^2} $, или $ 12 < \sqrt{160} < 13 $.
Значит, число $ \sqrt{160} $ находится между числами 12 и 13.
Ответ: 12 и 13.

5) Для отрицательного числа $ -\sqrt{86} $ сначала определим, между какими целыми числами находится положительное число $ \sqrt{86} $.
Найдем ближайшие к 86 квадраты целых чисел: $ 9^2 = 81 $, $ 10^2 = 100 $.
Так как $ 81 < 86 < 100 $, то $ 9^2 < 86 < 10^2 $.
Извлекая корень, получаем $ 9 < \sqrt{86} < 10 $.
Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $ -10 < -\sqrt{86} < -9 $.
Следовательно, число $ -\sqrt{86} $ находится между числами -10 и -9.
Ответ: -10 и -9.

6) Для отрицательного числа $ -\sqrt{30,5} $ сначала определим, между какими целыми числами находится $ \sqrt{30,5} $.
Найдем ближайшие к 30,5 квадраты целых чисел: $ 5^2 = 25 $, $ 6^2 = 36 $.
Поскольку $ 25 < 30,5 < 36 $, то $ 5^2 < 30,5 < 6^2 $.
Извлекая корень, получаем $ 5 < \sqrt{30,5} < 6 $.
Умножим неравенство на -1, меняя знаки на противоположные: $ -6 < -\sqrt{30,5} < -5 $.
Таким образом, число $ -\sqrt{30,5} $ находится между числами -6 и -5.
Ответ: -6 и -5.