Номер 595, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 595, страница 148.

Условие.

595. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} < 8;$

2) $\sqrt{x} > 7;$

3) $10 < \sqrt{x} \le 20?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы решить неравенство $\sqrt{x} \le 8$, в первую очередь необходимо учесть Область Допустимых Значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.

Далее, поскольку обе части неравенства $\sqrt{x} \le 8$ неотрицательны ( $\sqrt{x}$ по определению, а 8 - положительное число), мы можем возвести обе части в квадрат. Знак неравенства при этом не изменится:

$(\sqrt{x})^2 \le 8^2$

$x \le 64$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 64 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток от 0 до 64, включая концы.

Ответ: $x \in [0; 64]$.

2) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} > 7$.

ОДЗ для этого неравенства: $x \ge 0$.

Обе части неравенства $\sqrt{x} > 7$ являются положительными числами. Поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x})^2 > 7^2$

$x > 49$

Полученное решение $x > 49$ удовлетворяет ОДЗ (так как любое число больше 49 автоматически больше или равно 0). Следовательно, это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in (49; +\infty)$.

3) Решим двойное неравенство $10 \le \sqrt{x} \le 20$.

ОДЗ для этого неравенства также $x \ge 0$.

Все три части данного двойного неравенства ($10$, $\sqrt{x}$ и $20$) неотрицательны. Это позволяет нам возвести все части в квадрат, при этом знаки неравенств сохранятся:

$10^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 20^2$

$100 \le x \le 400$

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ, так как все значения $x$ из промежутка $[100; 400]$ неотрицательны.

Ответ: $x \in [100; 400]$.