Номер 600, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 600, страница 149.

Условие.

600. Решите уравнение $\sqrt{x} = -x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения уравнения $√x = -x²$ проанализируем свойства левой и правой частей.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Левая часть уравнения содержит арифметический квадратный корень $√x$. По определению, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x ≥ 0$.

2. Анализ значений функций.

Рассмотрим, какие значения могут принимать обе части уравнения с учетом ОДЗ.

• Левая часть, $√x$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна. Таким образом, $√x ≥ 0$.
• Правая часть, $-x²$. Выражение $x²$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ ($x² ≥ 0$). Следовательно, выражение $-x²$ всегда неположительно ($-x² ≤ 0$).

3. Нахождение решения.

Мы имеем равенство $√x = -x²$, в котором левая часть ($≥ 0$) должна быть равна правой части ($≤ 0$). Такое равенство возможно только в одном случае: когда обе части равны нулю.

$√x = 0$ и $-x² = 0$.

Решая любое из этих уравнений, мы получаем единственный результат:

$√x = 0 \implies x = 0$

$-x² = 0 \implies x² = 0 \implies x = 0$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($0 ≥ 0$).

Альтернативный способ (алгебраический)

Возведем обе части исходного уравнения $√x = -x²$ в квадрат (при условии $x ≥ 0$):

$(√x)² = (-x²)²$

$x = x⁴$

Перенесем все в левую часть и решим полученное уравнение:

$x⁴ - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x³ - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x = 0$

2) $x³ - 1 = 0 \implies x³ = 1 \implies x = 1$

Поскольку мы возводили уравнение в квадрат, могли появиться посторонние корни. Необходимо выполнить проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение $√x = -x²$.

Проверка для $x = 0$:

$√0 = -0²$

$0 = 0$ (Верно)

Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Проверка для $x = 1$:

$√1 = -1²$

$1 = -(1)$

$1 = -1$ (Неверно)

Следовательно, $x=1$ — посторонний корень.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x=0$.