Номер 603, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 603, страница 149.

Условие.

603. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = \sqrt{-x}$. Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Область определения

Дана функция $y = \sqrt{-x}$. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для функции квадратного корня выражение, стоящее под знаком корня, должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:
$-x \geq 0$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq 0$

Таким образом, область определения функции включает все действительные числа, которые меньше или равны нулю. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty, 0]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 0]$.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{a} \geq 0$.

В нашем случае $y = \sqrt{-x}$, следовательно, $y \geq 0$ для всех $x$ из области определения. Таким образом, функция может принимать любые неотрицательные значения. В виде числового промежутка это записывается как $[0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). Чтобы найти нули, нужно решить уравнение:
$\sqrt{-x} = 0$

Для решения возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{-x})^2 = 0^2$
$-x = 0$
$x = 0$

Значение $x = 0$ принадлежит области определения функции. Следовательно, функция имеет единственный нуль в точке $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

Построение графика

Для построения графика функции $y = \sqrt{-x}$ составим таблицу значений, выбирая значения $x$ из области определения, то есть $x \leq 0$.

• при $x = 0$, $y = \sqrt{-0} = 0$. Точка (0, 0).
• при $x = -1$, $y = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$. Точка (-1, 1).
• при $x = -4$, $y = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2$. Точка (-4, 2).
• при $x = -9$, $y = \sqrt{-(-9)} = \sqrt{9} = 3$. Точка (-9, 3).

График функции $y = \sqrt{-x}$ является зеркальным отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси ординат (оси OY). Он начинается в начале координат (0, 0) и проходит через вычисленные точки, плавно поднимаясь вверх и уходя влево (во вторую координатную четверть).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая является симметричным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси OY. График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (-1, 1), (-4, 2), (-9, 3) и так далее.