Номер 609, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 609, страница 149.

Условие.

609. Упростите выражение $\sqrt{(\sqrt{a}-6)^2 + 24\sqrt{a}} - \sqrt{(\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения сначала преобразуем выражения, находящиеся под знаками больших корней. Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ): так как в выражении присутствует $ \sqrt{a} $, то должно выполняться условие $ a \ge 0 $.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $ (\sqrt{a}-6)^2 + 24\sqrt{a} $.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:
$ (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 + 24\sqrt{a} = a - 12\sqrt{a} + 36 + 24\sqrt{a} $.
Приведем подобные слагаемые:
$ a + (-12\sqrt{a} + 24\sqrt{a}) + 36 = a + 12\sqrt{a} + 36 $.
Заметим, что полученное выражение является полным квадратом суммы по формуле $ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $:
$ a + 12\sqrt{a} + 36 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{a}+6)^2 $.

Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: $ (\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a} $.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $:
$ (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 - 24\sqrt{a} = a + 12\sqrt{a} + 36 - 24\sqrt{a} $.
Приведем подобные слагаемые:
$ a + (12\sqrt{a} - 24\sqrt{a}) + 36 = a - 12\sqrt{a} + 36 $.
Это выражение, в свою очередь, является полным квадратом разности:
$ a - 12\sqrt{a} + 36 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{a}-6)^2 $.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$ \sqrt{(\sqrt{a}+6)^2} - \sqrt{(\sqrt{a}-6)^2} $.

Теперь воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $ \sqrt{x^2} = |x| $:
$ |\sqrt{a}+6| - |\sqrt{a}-6| $.

Далее необходимо раскрыть модули.
Для первого модуля $ |\sqrt{a}+6| $: поскольку по ОДЗ $ a \ge 0 $, то $ \sqrt{a} \ge 0 $, и, следовательно, сумма $ \sqrt{a}+6 $ всегда положительна. Таким образом, $ |\sqrt{a}+6| = \sqrt{a}+6 $.
Для второго модуля $ |\sqrt{a}-6| $ знак подмодульного выражения $ \sqrt{a}-6 $ зависит от значения $ a $. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $ \sqrt{a}-6 \ge 0 $.
Это неравенство равносильно $ \sqrt{a} \ge 6 $, что при возведении в квадрат обеих частей дает $ a \ge 36 $.
В этом случае $ |\sqrt{a}-6| = \sqrt{a}-6 $.
Выражение принимает вид: $ (\sqrt{a}+6) - (\sqrt{a}-6) = \sqrt{a}+6 - \sqrt{a}+6 = 12 $.

Случай 2: $ \sqrt{a}-6 < 0 $.
Это неравенство равносильно $ \sqrt{a} < 6 $, что при возведении в квадрат дает $ a < 36 $. Учитывая ОДЗ ($ a \ge 0 $), получаем $ 0 \le a < 36 $.
В этом случае $ |\sqrt{a}-6| = -(\sqrt{a}-6) = 6 - \sqrt{a} $.
Выражение принимает вид: $ (\sqrt{a}+6) - (6 - \sqrt{a}) = \sqrt{a}+6 - 6 + \sqrt{a} = 2\sqrt{a} $.

Таким образом, значение исходного выражения зависит от значения переменной $a$.
Ответ: $ 12 $ при $ a \ge 36 $; $ 2\sqrt{a} $ при $ 0 \le a < 36 $.