Номер 602, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 602, страница 149.

Условие.

602. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 1, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

1) Найдите: $f(-2), f(0), f(1), f(4).$

2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдите: $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(4)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для вычисления ее значения необходимо сначала определить, какому из двух указанных промежутков принадлежит аргумент $x$.

- Найдем $f(-2)$.
Значение $x = -2$ удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, для вычисления мы используем первую часть определения функции: $f(x) = x^2$.
$f(-2) = (-2)^2 = 4$.

- Найдем $f(0)$.
Значение $x = 0$ также удовлетворяет условию $x \le 1$. Используем ту же формулу: $f(x) = x^2$.
$f(0) = 0^2 = 0$.

- Найдем $f(1)$.
Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $x \le 1$ (так как неравенство нестрогое). Снова используем формулу $f(x) = x^2$.
$f(1) = 1^2 = 1$.

- Найдем $f(4)$.
Значение $x = 4$ удовлетворяет условию $x > 1$. Следовательно, для вычисления мы используем вторую часть определения функции: $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $f(-2) = 4$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $f(4) = 2$.

---

2) Постройте график данной функции.

Для построения графика функции $f(x)$ необходимо построить график каждой из ее частей на соответствующем промежутке.

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция задана формулой $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы строим эту параболу для всех значений $x$, не превосходящих $1$. Вычислим несколько ключевых точек:
   • $x = 1 \implies y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
   • $x = 0 \implies y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
   • $x = -1 \implies y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
   • $x = -2 \implies y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
2. На промежутке $(1, +\infty)$ функция задана формулой $y = \sqrt{x}$. Графиком является ветвь параболы, симметричная параболе $y=x^2$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Мы строим этот график для всех $x > 1$. Вычислим несколько ключевых точек:
   • При $x$, стремящемся к $1$ справа ($x \to 1+$), $y$ стремится к $\sqrt{1}=1$. Таким образом, эта часть графика начинается от точки $(1, 1)$, но сама точка не включается (была бы "выколотой").
   • $x = 4 \implies y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
   • $x = 9 \implies y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(9, 3)$.

Так как значение функции в точке $x=1$ для первой части ($y=1^2=1$) совпадает с предельным значением для второй части ($y=\sqrt{1}=1$), график функции является непрерывным в точке $x=1$. Точка $(1, 1)$ соединяет обе части графика.

Итоговый график функции показан на рисунке:

Ответ: График функции представляет собой объединение двух кривых: части параболы $y = x^2$ для $x \le 1$ (показана красным цветом) и части графика функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$ для $x > 1$ (показана зеленым цветом). Обе части непрерывно соединяются в точке $(1, 1)$.