Номер 598, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 598, страница 149.

Условие.

598. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{7})^2}$;

3) $\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}$;

4) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$ воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}|$.

Далее, чтобы раскрыть модуль, нам нужно определить знак выражения $1 - \sqrt{2}$. Сравним числа 1 и $\sqrt{2}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $1 < 2$, то $1 < \sqrt{2}$.

Следовательно, разность $1 - \sqrt{2}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Поэтому, $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $\sqrt{2} - 1$

2) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2}$, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

Таким образом, $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{7}|$.

Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$. Поскольку подкоренные выражения положительны и $6 < 7$, то и $\sqrt{6} < \sqrt{7}$.

Это означает, что выражение $\sqrt{6} - \sqrt{7}$ отрицательно.

Следовательно, по определению модуля, $|\sqrt{6} - \sqrt{7}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{7}) = -\sqrt{6} + \sqrt{7} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{6}$

3) Для упрощения выражения $\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2}$ применим формулу $\sqrt{a^2} = |a|$.

Получаем: $\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2} = |2\sqrt{5} - 3|$.

Теперь определим знак выражения $2\sqrt{5} - 3$. Для этого сравним $2\sqrt{5}$ и $3$. Удобнее сравнивать их квадраты: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$ и $3^2 = 9$.

Так как $20 > 9$, то $2\sqrt{5} > 3$.

Значит, выражение $2\sqrt{5} - 3$ является положительным.

По определению модуля, $|x| = x$, если $x \ge 0$. Таким образом, $|2\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 3$.

Ответ: $2\sqrt{5} - 3$

4) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$.

Это выражение является суммой двух слагаемых. Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Первое слагаемое: $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2|$.

Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Их квадраты равны $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Значит, разность $\sqrt{3} - 2$ отрицательна. Поэтому, $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.

Второе слагаемое: $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}|$.

Сравним $3$ и $\sqrt{3}$. Их квадраты равны $3^2 = 9$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Так как $9 > 3$, то $3 > \sqrt{3}$. Значит, разность $3 - \sqrt{3}$ положительна. Поэтому, $|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(2 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = (2 + 3) + (-\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $5 - 2\sqrt{3}$