Номер 594, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 594, страница 148.

Условие.

594. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} \ge 2;$

2) $\sqrt{x} < 4;$

3) $6 \le \sqrt{x} < 9?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное неравенство: $\sqrt{x} \ge 2$.
Для того чтобы неравенство имело смысл, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: $x \ge 0$.
Обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 2) являются неотрицательными. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.
$(\sqrt{x})^2 \ge 2^2$
$x \ge 4$
Теперь необходимо учесть ОДЗ. Мы получили систему из двух неравенств:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x \ge 4$.
Ответ: $x \ge 4$ (или в виде промежутка $x \in [4; +\infty)$).

2) Исходное неравенство: $\sqrt{x} < 4$.
Определим ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства.
$(\sqrt{x})^2 < 4^2$
$x < 16$
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 16 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является двойное неравенство $0 \le x < 16$.
Ответ: $0 \le x < 16$ (или в виде промежутка $x \in [0; 16)$).

3) Исходное двойное неравенство: $6 \le \sqrt{x} < 9$.
ОДЗ для этого неравенства также $x \ge 0$.
Все три части двойного неравенства ($6$, $\sqrt{x}$ и $9$) являются положительными. Мы можем возвести все части в квадрат, при этом знаки неравенств сохранятся.
$6^2 \le (\sqrt{x})^2 < 9^2$
$36 \le x < 81$
Полученный интервал $36 \le x < 81$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), так как все значения $x$ в этом интервале положительны.
Ответ: $36 \le x < 81$ (или в виде промежутка $x \in [36; 81)$).