Номер 599, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 599, страница 149.

Условие.

599. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{5}-4)^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2} = |\sqrt{5} - 4|$.

Теперь необходимо раскрыть модуль. Для этого определим знак выражения, стоящего под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{5}$ и $4$.

Чтобы их сравнить, можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$4^2 = 16$

Поскольку $5 < 16$, то и $\sqrt{5} < 4$. Это означает, что разность $\sqrt{5} - 4$ является отрицательным числом.

По определению модуля, $|a| = -a$, если $a < 0$. Следовательно:

$|\sqrt{5} - 4| = -(\sqrt{5} - 4) = -\sqrt{5} + 4 = 4 - \sqrt{5}$.

Ответ: $4 - \sqrt{5}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} - 3)^2}$.

Используя то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ для каждой части выражения, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} - 3)^2} = |\sqrt{8} - 3| - |\sqrt{2} - 3|$.

Теперь раскроем каждый модуль по отдельности.

Для первого модуля $|\sqrt{8} - 3|$ сравним числа $\sqrt{8}$ и $3$.

$(\sqrt{8})^2 = 8$, а $3^2 = 9$.

Так как $8 < 9$, то $\sqrt{8} < 3$. Значит, выражение $\sqrt{8} - 3$ отрицательно. Поэтому:

$|\sqrt{8} - 3| = -(\sqrt{8} - 3) = 3 - \sqrt{8}$.

Для второго модуля $|\sqrt{2} - 3|$ сравним числа $\sqrt{2}$ и $3$.

$(\sqrt{2})^2 = 2$, а $3^2 = 9$.

Так как $2 < 9$, то $\sqrt{2} < 3$. Значит, выражение $\sqrt{2} - 3$ также отрицательно. Поэтому:

$|\sqrt{2} - 3| = -(\sqrt{2} - 3) = 3 - \sqrt{2}$.

Теперь подставим раскрытые модули обратно в исходное выражение:

$(3 - \sqrt{8}) - (3 - \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{8} - 3 + \sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые. Числа $3$ и $-3$ взаимно уничтожаются:

$-\sqrt{8} + \sqrt{2}$.

Упростим корень из восьми: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это значение в выражение:

$-2\sqrt{2} + \sqrt{2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.