Номер 596, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 596, страница 148.

Условие.

596. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = x;$

2) $\sqrt{x} = x^2;$

3) $\sqrt{x} = x + 2;$

4) $\sqrt{x} = 0,5x + 0,5;$

5) $\sqrt{x} = \frac{8}{x};$

6) $\sqrt{x} = 1,5 - 0,5x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x$ графическим методом, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Oy$ параболе $x = y^2$. Он начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1) и (4, 2).

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, 1).

При построении этих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в двух точках: O(0, 0) и A(1, 1). Абсциссы этих точек $x=0$ и $x=1$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x=0; x=1$.

2) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x^2$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Так как область определения функции $y=\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$, нас интересует только правая часть параболы $y=x^2$, которая проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 4).

Графики пересекаются в двух точках с координатами (0, 0) и (1, 1). Следовательно, решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x=0; x=1$.

3) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x + 2$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 2$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат.

График функции $y = x + 2$ — это прямая, которая пересекает ось $y$ в точке (0, 2) и ось $x$ в точке (-2, 0).

Построив оба графика, мы видим, что они не имеют общих точек. График прямой $y = x + 2$ расположен полностью выше графика $y = \sqrt{x}$ для всех $x \ge 0$.

Ответ: решений нет.

4) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5x + 0,5$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 0,5x + 0,5$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 0,5x + 0,5$ — это прямая, проходящая через точки (-1, 0) и (1, 1).

При построении графиков можно увидеть, что прямая касается графика функции $y = \sqrt{x}$ в одной точке с координатами (1, 1). Это их единственная общая точка. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.

Ответ: $x=1$.

5) Для решения уравнения $\sqrt{x} = \frac{8}{x}$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{8}{x}$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это возрастающая функция (ветвь параболы). Область определения $x \ge 0$.

График функции $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола. Поскольку $x$ должен быть положительным ($x > 0$ из-за области определения $\sqrt{x}$ и знаменателя), нас интересует только ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Эта функция является убывающей и проходит через точки (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1).

Так как одна функция возрастает, а другая убывает на области $x > 0$, они могут иметь не более одной точки пересечения. Построив графики, легко заметить, что они пересекаются в точке с координатами (4, 2).

Ответ: $x=4$.

6) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 1,5 - 0,5x$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1,5 - 0,5x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это возрастающая функция, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = 1,5 - 0,5x$ — это убывающая прямая, которая пересекает оси координат в точках (0, 1.5) и (3, 0). Она также проходит через точку (1, 1).

Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ возрастает при $x \ge 0$, а функция $y = 1,5 - 0,5x$ убывает, их графики могут пересечься только в одной точке. Из построения видно, что это точка с координатами (1, 1).

Ответ: $x=1$.