Номер 597, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 597, страница 148.

Условие.

597. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x}=-x-1;$

2) $\sqrt{x}=2-x;$

3) $\sqrt{x}=\frac{1}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения уравнения $\sqrt{x} = -x - 1$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 1$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2). Эта функция определена для $x \ge 0$ и её значения всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$. Таким образом, её график расположен в первой координатной четверти.
График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки: при $x = 0$, $y = -1$ (точка (0, -1)), и при $x = -1$, $y = 0$ (точка (-1, 0)).
Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения требует одновременного выполнения двух условий: $x \ge 0$ (из-за наличия $\sqrt{x}$) и $-x - 1 \ge 0$ (поскольку значение арифметического корня не может быть отрицательным). Второе неравенство преобразуется к виду $x \le -1$. Система неравенств $\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le -1 \end{cases}$ не имеет решений.
Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл. На графике это отражается в том, что кривая $y = \sqrt{x}$ и прямая $y = -x - 1$ не имеют точек пересечения.
Ответ: нет корней.

2) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 2 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0, 0) и проходящая через точки (1, 1), (4, 2).
График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Найдём точки для её построения: при $x = 0$, $y = 2$ (точка (0, 2)), и при $x = 2$, $y = 0$ (точка (2, 0)).
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из графика легко определить координаты этой точки — (1, 1).
Для проверки подставим значение $x=1$ в оба исходных выражения для $y$:
1) $y = \sqrt{1} = 1$.
2) $y = 2 - 1 = 1$.
Поскольку значения $y$ совпали, точка (1, 1) действительно является точкой пересечения. Решением исходного уравнения является абсцисса этой точки.
Ответ: $x=1$.

3) Для решения уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x > 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель дроби не может быть равен нулю.
График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и проходящая через (1,1), (4,2).
График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Учитывая ОДЗ ($x>0$), нас интересует только её ветвь в первой координатной четверти. Она проходит через точки (0.5, 2), (1, 1), (2, 0.5).
Нанеся оба графика на координатную плоскость, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка — (1, 1).
Проверим:
1) Для $y=\sqrt{x}$, при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$.
2) Для $y=\frac{1}{x}$, при $x=1$, $y=\frac{1}{1}=1$.
Точка найдена верно. Решением уравнения является абсцисса точки пересечения.
Ответ: $x=1$.