Номер 593, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 593, страница 148.

Условие.

593. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) $ \sqrt{3} $ и $ \sqrt{13} $;

2) $ \sqrt{10} $ и $ \sqrt{90} $;

3) $ -\sqrt{145} $ и $ -\sqrt{47} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи нам нужно найти все целые числа, которые находятся между двумя заданными числами на координатной прямой. Для этого мы оценим значения квадратных корней, чтобы определить границы интервалов, в которых лежат эти числа.

1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{13}$

Чтобы найти целые числа между $\sqrt{3}$ и $\sqrt{13}$, оценим значения этих корней.
Найдем ближайшие к 3 квадраты целых чисел: $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$.
Так как $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$.
Теперь найдем ближайшие к 13 квадраты целых чисел: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Так как $9 < 13 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$, следовательно $3 < \sqrt{13} < 4$.
Мы ищем целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $\sqrt{3} < x < \sqrt{13}$.
Подставляя оценки, получаем: $1,...\; < x < 3,...$ .
Целые числа, которые больше 1, но меньше 4, — это 2 и 3.
Другой способ — возвести все части неравенства в квадрат (это возможно, так как все числа положительны):
$(\sqrt{3})^2 < x^2 < (\sqrt{13})^2$
$3 < x^2 < 13$
Теперь найдем целые числа, квадраты которых находятся между 3 и 13. Это $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Значит, искомые числа — 2 и 3.
Ответ: 2, 3.

2) $\sqrt{10}$ и $\sqrt{90}$

Оценим значения корней $\sqrt{10}$ и $\sqrt{90}$.
Для $\sqrt{10}$: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Так как $9 < 10 < 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$.
Для $\sqrt{90}$: $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$. Так как $81 < 90 < 100$, то $9 < \sqrt{90} < 10$.
Ищем целые числа $x$ в интервале $\sqrt{10} < x < \sqrt{90}$.
Подставляя оценки, получаем: $3,...\; < x < 9,...$ .
Целые числа, которые больше 3, но меньше 10, — это 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Проверим возведением в квадрат:
$10 < x^2 < 90$
Квадраты целых чисел в этом диапазоне: $4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81$. Соответственно, искомые числа — 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3) $-\sqrt{145}$ и $-\sqrt{47}$

На координатной прямой число $-\sqrt{145}$ находится левее числа $-\sqrt{47}$. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{145} < x < -\sqrt{47}$.
Сначала оценим положительные корни.
Для $\sqrt{145}$: $12^2 = 144$ и $13^2 = 169$. Так как $144 < 145 < 169$, то $12 < \sqrt{145} < 13$. Следовательно, $-13 < -\sqrt{145} < -12$.
Для $\sqrt{47}$: $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Так как $36 < 47 < 49$, то $6 < \sqrt{47} < 7$. Следовательно, $-7 < -\sqrt{47} < -6$.
Наше неравенство принимает вид: $-12,...\; < x < -6,...$ .
Целые числа, которые удовлетворяют этому условию: -12, -11, -10, -9, -8, -7.
Проверим другим способом. Умножим неравенство на -1, изменив знаки на противоположные:
$\sqrt{47} < -x < \sqrt{145}$
Пусть $y = -x$, тогда $y$ — положительное целое число. Возведем в квадрат:
$47 < y^2 < 145$
Найдем квадраты целых чисел в этом диапазоне: $7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100, 11^2=121, 12^2=144$.
Значит, $y$ может быть равен 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Поскольку $x = -y$, то искомые числа: -7, -8, -9, -10, -11, -12. Упорядочив их, получаем тот же результат.
Ответ: -12, -11, -10, -9, -8, -7.