Номер 606, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 606, страница 149.

Условие.

606. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9-4\sqrt{5}};$

2) $\sqrt{7-2\sqrt{10}};$

3) $\sqrt{37-20\sqrt{3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для упрощения выражений такого вида используется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Цель состоит в том, чтобы представить подкоренное выражение в виде полного квадрата.

Рассмотрим выражение $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$.

Сначала преобразуем член с корнем так, чтобы выделить удвоенное произведение: $4\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5}$.

Далее, внесем множитель 2 под знак корня: $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$.

Мы ищем два числа, пусть это будут $x$ и $y$, такие, что их сумма $x+y=9$, а их произведение $xy=20$. По теореме Виета, это корни квадратного уравнения $z^2 - 9z + 20 = 0$. Методом подбора легко находим, что эти числа — 5 и 4 ($5+4=9$, $5 \cdot 4=20$).

Теперь мы можем переписать подкоренное выражение:

$9 - 2\sqrt{20} = (5+4) - 2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{4})^2$.

Подставляем это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{4})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{4}|$.

Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, и выражение $\sqrt{5}-\sqrt{4}$ положительно. Следовательно, знак модуля можно опустить.

$\sqrt{5}-\sqrt{4} = \sqrt{5}-2$.

Ответ: $\sqrt{5}-2$.

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$.

Здесь подкоренное выражение уже представлено в удобной форме, где есть удвоенное произведение $2\sqrt{10}$. Нам нужно найти два числа $x$ и $y$ такие, что их сумма $x+y=7$, а произведение $xy=10$.

Очевидно, что этими числами являются 5 и 2, так как $5+2=7$ и $5 \cdot 2=10$.

Представим подкоренное выражение как полный квадрат:

$7-2\sqrt{10} = (5+2) - 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$.

Тогда исходное выражение упрощается до:

$\sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{2}|$.

Так как $5>2$, то $\sqrt{5}>\sqrt{2}$, поэтому выражение под модулем положительно, и знак модуля можно убрать.

Ответ: $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{37-20\sqrt{3}}$.

Как и в первом примере, приведем выражение к виду с удвоенным произведением:

$20\sqrt{3} = 2 \cdot 10\sqrt{3}$.

Внесем множитель 10 под знак корня: $10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt{37 - 2\sqrt{300}}$.

Теперь ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=37$ и $xy=300$.

Разложим 300 на множители и проверим их сумму. Пара 25 и 12 удовлетворяет условиям: $25+12=37$ и $25 \cdot 12=300$.

Представим подкоренное выражение как полный квадрат, используя числа 25 и 12:

$37-2\sqrt{300} = (25+12) - 2\sqrt{25 \cdot 12} = (\sqrt{25})^2 - 2\sqrt{25}\sqrt{12} + (\sqrt{12})^2 = (\sqrt{25}-\sqrt{12})^2$.

Следовательно, исходное выражение равно:

$\sqrt{37-20\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{25}-\sqrt{12})^2} = |\sqrt{25}-\sqrt{12}|$.

Так как $25>12$, то $\sqrt{25}>\sqrt{12}$, и выражение под модулем положительно. Знак модуля можно опустить.

Упростим результат: $\sqrt{25}-\sqrt{12} = 5 - \sqrt{4 \cdot 3} = 5 - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $5-2\sqrt{3}$.