Номер 608, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 608, страница 149.
№608 (с. 149)
Условие. №608 (с. 149)
скриншот условия

608. Упростите выражение $ \sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}} $.
Решение 1. №608 (с. 149)

Решение 2. №608 (с. 149)

Решение 3. №608 (с. 149)

Решение 4. №608 (с. 149)

Решение 5. №608 (с. 149)

Решение 6. №608 (с. 149)

Решение 7. №608 (с. 149)

Решение 8. №608 (с. 149)
Для упрощения выражения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в выражении присутствует корень $\sqrt{a}$, должно выполняться условие $a \ge 0$.
Исходное выражение: $\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}}$.
Упростим каждое из двух слагаемых, преобразовав подкоренные выражения.
1. Упрощение первого подкоренного выражения
Рассмотрим выражение под первым знаком корня: $(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}$.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(\sqrt{a}+1)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = a + 2\sqrt{a} + 1$.
Теперь подставим это обратно в подкоренное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(a + 2\sqrt{a} + 1) - 4\sqrt{a} = a - 2\sqrt{a} + 1$.
Полученное выражение является полным квадратом разности и может быть свернуто по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:
$a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}-1)^2$.
2. Упрощение второго подкоренного выражения
Рассмотрим выражение под вторым знаком корня: $(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(\sqrt{a}-2)^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 2 + 2^2 = a - 4\sqrt{a} + 4$.
Подставим это обратно в подкоренное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(a - 4\sqrt{a} + 4) + 8\sqrt{a} = a + 4\sqrt{a} + 4$.
Это выражение также является полным квадратом, но уже суммы, и сворачивается по формуле $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:
$a + 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{a}+2)^2$.
3. Преобразование исходного выражения и раскрытие модулей
После упрощения подкоренных выражений исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a}+2)^2}$.
По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, мы можем переписать выражение через модули:
$|\sqrt{a}-1| + |\sqrt{a}+2|$.
Для дальнейшего упрощения необходимо раскрыть модули. Для этого проанализируем знаки выражений, стоящих под знаком модуля.
Выражение $\sqrt{a}+2$ всегда положительно, так как по ОДЗ $\sqrt{a} \ge 0$, а значит $\sqrt{a}+2 \ge 2$. Поэтому $|\sqrt{a}+2| = \sqrt{a}+2$.
Знак выражения $\sqrt{a}-1$ зависит от величины $a$. Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $0 \le a < 1$
В этом интервале $0 \le \sqrt{a} < 1$, следовательно, разность $\sqrt{a}-1$ отрицательна. По определению модуля, $|\sqrt{a}-1| = -(\sqrt{a}-1) = 1-\sqrt{a}$.
Тогда исходное выражение равно:
$(1-\sqrt{a}) + (\sqrt{a}+2) = 1 - \sqrt{a} + \sqrt{a} + 2 = 3$.
Случай 2: $a \ge 1$
В этом случае $\sqrt{a} \ge 1$, следовательно, разность $\sqrt{a}-1$ неотрицательна. По определению модуля, $|\sqrt{a}-1| = \sqrt{a}-1$.
Тогда исходное выражение равно:
$(\sqrt{a}-1) + (\sqrt{a}+2) = \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 2 = 2\sqrt{a} + 1$.
Таким образом, итоговый вид выражения зависит от значения переменной $a$.
Ответ: если $0 \le a < 1$, то выражение равно $3$; если $a \ge 1$, то выражение равно $2\sqrt{a} + 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 608 расположенного на странице 149 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №608 (с. 149), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.