Номер 608, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 608, страница 149.

Условие.

608. Упростите выражение $ \sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения выражения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в выражении присутствует корень $\sqrt{a}$, должно выполняться условие $a \ge 0$.

Исходное выражение: $\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}}$.

Упростим каждое из двух слагаемых, преобразовав подкоренные выражения.

1. Упрощение первого подкоренного выражения

Рассмотрим выражение под первым знаком корня: $(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a}+1)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = a + 2\sqrt{a} + 1$.

Теперь подставим это обратно в подкоренное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a + 2\sqrt{a} + 1) - 4\sqrt{a} = a - 2\sqrt{a} + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом разности и может быть свернуто по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:

$a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}-1)^2$.

2. Упрощение второго подкоренного выражения

Рассмотрим выражение под вторым знаком корня: $(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a}-2)^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 2 + 2^2 = a - 4\sqrt{a} + 4$.

Подставим это обратно в подкоренное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a - 4\sqrt{a} + 4) + 8\sqrt{a} = a + 4\sqrt{a} + 4$.

Это выражение также является полным квадратом, но уже суммы, и сворачивается по формуле $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:

$a + 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{a}+2)^2$.

3. Преобразование исходного выражения и раскрытие модулей

После упрощения подкоренных выражений исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a}+2)^2}$.

По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, мы можем переписать выражение через модули:

$|\sqrt{a}-1| + |\sqrt{a}+2|$.

Для дальнейшего упрощения необходимо раскрыть модули. Для этого проанализируем знаки выражений, стоящих под знаком модуля.

Выражение $\sqrt{a}+2$ всегда положительно, так как по ОДЗ $\sqrt{a} \ge 0$, а значит $\sqrt{a}+2 \ge 2$. Поэтому $|\sqrt{a}+2| = \sqrt{a}+2$.

Знак выражения $\sqrt{a}-1$ зависит от величины $a$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $0 \le a < 1$

В этом интервале $0 \le \sqrt{a} < 1$, следовательно, разность $\sqrt{a}-1$ отрицательна. По определению модуля, $|\sqrt{a}-1| = -(\sqrt{a}-1) = 1-\sqrt{a}$.

Тогда исходное выражение равно:

$(1-\sqrt{a}) + (\sqrt{a}+2) = 1 - \sqrt{a} + \sqrt{a} + 2 = 3$.

Случай 2: $a \ge 1$

В этом случае $\sqrt{a} \ge 1$, следовательно, разность $\sqrt{a}-1$ неотрицательна. По определению модуля, $|\sqrt{a}-1| = \sqrt{a}-1$.

Тогда исходное выражение равно:

$(\sqrt{a}-1) + (\sqrt{a}+2) = \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 2 = 2\sqrt{a} + 1$.

Таким образом, итоговый вид выражения зависит от значения переменной $a$.

Ответ: если $0 \le a < 1$, то выражение равно $3$; если $a \ge 1$, то выражение равно $2\sqrt{a} + 1$.