Номер 615, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 615, страница 150.

Условие.

615. Натуральные числа от 1 до 37 записаны в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится нацело на следующее за ними число. Какое число записано на третьем месте, если на первом месте записано число 37, а на втором – 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим последовательность натуральных чисел от 1 до 37 как $a_1, a_2, \dots, a_{37}$. Эта последовательность является перестановкой множества $\{1, 2, \dots, 37\}$.

По условию, сумма любых первых $k$ чисел, которую мы обозначим как $S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i$, делится нацело на следующее за ними число $a_{k+1}$. Это можно записать как $S_k \vdots a_{k+1}$ для всех $k$ от 1 до 36.

В задаче дано, что на первом месте стоит число 37, а на втором — 1. Таким образом, $a_1 = 37$ и $a_2 = 1$. Требуется найти число на третьем месте, то есть $a_3$.

Рассмотрим условие для $k=2$: сумма первых двух чисел $S_2$ должна делиться на третье число $a_3$.

$S_2 = a_1 + a_2 = 37 + 1 = 38$.

Следовательно, $a_3$ должен быть делителем числа 38. Натуральные делители числа 38: $1, 2, 19, 38$.

Поскольку $a_3$ является одним из чисел от 1 до 37, он не может быть равен 38. Также, все числа в последовательности должны быть различны, а числа 1 и 37 уже заняты на первой и второй позициях. Значит, $a_3$ не может быть равен 1. Таким образом, для $a_3$ остаются два возможных значения: 2 или 19.

Чтобы определить, какое из этих двух чисел является верным, рассмотрим последнее число в последовательности, $a_{37}$. Для этого применим условие для $k=36$: сумма $S_{36}$ должна делиться на $a_{37}$.

Сумма всех чисел последовательности, $S_{37}$, это сумма натуральных чисел от 1 до 37:

$S_{37} = \frac{37 \cdot (37 + 1)}{2} = \frac{37 \cdot 38}{2} = 37 \cdot 19 = 703$.

Сумма $S_{36}$ связана с $S_{37}$ очевидным образом: $S_{36} = S_{37} - a_{37} = 703 - a_{37}$.

Условие $S_{36} \vdots a_{37}$ означает, что $(703 - a_{37}) \vdots a_{37}$. Поскольку $a_{37}$ делится само на себя, то и $703$ должно делиться на $a_{37}$.

Делителями числа 703 являются $1, 19, 37, 703$. Так как $a_{37}$ — это число от 1 до 37, и оно не может быть равно уже использованным числам 1 и 37, то для $a_{37}$ остается единственный вариант: $a_{37} = 19$.

Теперь мы можем однозначно определить $a_3$. Мы выяснили, что $a_3$ может быть либо 2, либо 19. Но так как число 19 должно находиться на последнем, 37-м месте, оно не может быть на третьем. Следовательно, $a_3$ может быть только 2.

Ответ: 2