Номер 2, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №4 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 2, страница 153.

Условие.

2. Какое из чисел является иррациональным?

А) $\sqrt{4}$

Б) $\sqrt{0,4}$

В) $\sqrt{0,04}$

Г) $\sqrt{400}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Квадратный корень из числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является полным квадратом рационального числа.

А) $\sqrt{4}$

Подкоренное выражение равно 4. Так как $2^2 = 4$, то $\sqrt{4} = 2$. Число 2 является целым, а следовательно, и рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{2}{1}$.

Б) $\sqrt{0,4}$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Получаем $\sqrt{0,4} = \sqrt{\frac{2}{5}}$. Чтобы корень из дроби был рациональным числом, необходимо, чтобы и числитель, и знаменатель ее несократимой формы были полными квадратами целых чисел. В дроби $\frac{2}{5}$ ни 2, ни 5 не являются полными квадратами. Следовательно, $\sqrt{0,4}$ является иррациональным числом.

В) $\sqrt{0,04}$

Представим десятичную дробь 0,04 в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100}$. Тогда $\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$. Число 0,2 — это конечная десятичная дробь, следовательно, это рациональное число (можно представить как дробь $\frac{1}{5}$).

Г) $\sqrt{400}$

Подкоренное выражение равно 400. Так как $20^2 = 400$, то $\sqrt{400} = 20$. Число 20 является целым, а значит, и рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{20}{1}$.

Последовательно проверив каждое число, мы установили, что только $\sqrt{0,4}$ является иррациональным, так как его невозможно представить в виде дроби двух целых чисел, а его десятичное представление бесконечно и непериодично.
Ответ: Б) $\sqrt{0,4}$.