Страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из данных утверждений неверно?

А) $ -5 $ – целое число

Б) $ -5 $ – рациональное число

В) $ -5 $ – иррациональное число

Г) $ -5 $ – действительное число

Для того чтобы определить, какое из предложенных утверждений является неверным, необходимо проанализировать каждое из них по отдельности, основываясь на определениях числовых множеств.

А) -5 – целое число

Множество целых чисел, которое обозначается символом $Z$, включает в себя все натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им отрицательные числа (-1, -2, -3, ...) и число ноль. Число -5 является отрицательным целым числом, поэтому оно принадлежит множеству $Z$. Следовательно, данное утверждение является верным.

Б) -5 – рациональное число

Рациональным числом (из множества $Q$) называется любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in N$). Поскольку любое целое число $z$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (то есть $z = \frac{z}{1}$), то и число -5 является рациональным: $-5 = \frac{-5}{1}$. Следовательно, данное утверждение является верным.

В) -5 – иррациональное число

Иррациональным числом называется действительное число, которое не является рациональным. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым числителем и натуральным знаменателем. Иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, $\sqrt{2} \approx 1.41421...$ или $\pi \approx 3.14159...$). Так как число -5 является рациональным, оно по определению не может быть иррациональным. Следовательно, данное утверждение является неверным.

Г) -5 – действительное число

Множество действительных чисел, обозначаемое символом $R$, является объединением множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел. Так как -5 является рациональным числом, оно также входит и в множество действительных чисел. Следовательно, данное утверждение является верным.

Таким образом, после анализа всех вариантов, мы приходим к выводу, что единственное неверное утверждение — это В.

Ответ: В

2. Какое из чисел является иррациональным?

А) $\sqrt{4}$

Б) $\sqrt{0,4}$

В) $\sqrt{0,04}$

Г) $\sqrt{400}$

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Квадратный корень из числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является полным квадратом рационального числа.

А) $\sqrt{4}$

Подкоренное выражение равно 4. Так как $2^2 = 4$, то $\sqrt{4} = 2$. Число 2 является целым, а следовательно, и рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{2}{1}$.

Б) $\sqrt{0,4}$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Получаем $\sqrt{0,4} = \sqrt{\frac{2}{5}}$. Чтобы корень из дроби был рациональным числом, необходимо, чтобы и числитель, и знаменатель ее несократимой формы были полными квадратами целых чисел. В дроби $\frac{2}{5}$ ни 2, ни 5 не являются полными квадратами. Следовательно, $\sqrt{0,4}$ является иррациональным числом.

В) $\sqrt{0,04}$

Представим десятичную дробь 0,04 в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100}$. Тогда $\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$. Число 0,2 — это конечная десятичная дробь, следовательно, это рациональное число (можно представить как дробь $\frac{1}{5}$).

Г) $\sqrt{400}$

Подкоренное выражение равно 400. Так как $20^2 = 400$, то $\sqrt{400} = 20$. Число 20 является целым, а значит, и рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{20}{1}$.

Последовательно проверив каждое число, мы установили, что только $\sqrt{0,4}$ является иррациональным, так как его невозможно представить в виде дроби двух целых чисел, а его десятичное представление бесконечно и непериодично.
Ответ: Б) $\sqrt{0,4}$.

3. Графиком какой из функций является парабола?

А) $y = 2x$

Б) $y = x^2$

В) $y = \frac{2}{x}$

Г) $y = \frac{x}{2}$

Парабола является графиком квадратичной функции. Общий вид квадратичной функции — $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициент $a \neq 0$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов, чтобы найти функцию такого вида.

А) $y = 2x$
Это линейная функция вида $y = kx + b$. Ее графиком является прямая линия. Следовательно, это не парабола.

Б) $y = x^2$
Это квадратичная функция, так как переменная $x$ находится во второй степени. Она соответствует общему виду $y = ax^2 + bx + c$ при $a=1$, $b=0$ и $c=0$. Графиком квадратичной функции является парабола.

В) $y = \frac{2}{x}$
Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$. Ее графиком является гипербола. Следовательно, это не парабола.

Г) $y = \frac{x}{2}$
Эту функцию можно записать как $y = \frac{1}{2}x$. Это также линейная функция, и ее графиком является прямая линия. Следовательно, это не парабола.

Таким образом, единственная функция из предложенных, графиком которой является парабола, — это $y = x^2$.

Ответ: Б

4. На каком из рисунков изображён график функции $y = \sqrt{x}$?

A

B

Б

Г

Для того чтобы определить, на каком из рисунков изображен график функции $y = \sqrt{x}$, необходимо проанализировать ее основные свойства.

1. Область определения функции

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Это означает, что график функции должен полностью находиться в правой полуплоскости (в I и IV координатных четвертях), включая ось $y$. Этому условию соответствуют графики, изображенные на рисунках А и В. Графики Б и Г, расположенные в левой полуплоскости ($x \le 0$), не подходят.

2. Область значений функции

Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y = \sqrt{x} \ge 0$. Это значит, что график функции должен располагаться выше оси $x$ (в I и II координатных четвертях), включая саму ось $x$. Оба оставшихся графика, А и В, удовлетворяют этому условию, так как они расположены в I координатной четверти.

3. Форма графика и характер возрастания

Чтобы различить графики А и В, рассмотрим несколько контрольных точек и характер возрастания функции. Возьмем точки: при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$; при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$; при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Мы видим, что функция возрастает. Однако, скорость ее роста замедляется: чтобы $y$ увеличился на 1 (с 0 до 1), аргумент $x$ должен увеличиться на 1 (с 0 до 1), а для следующего увеличения $y$ на 1 (с 1 до 2) аргумент $x$ должен увеличиться уже на 3 (с 1 до 4). Такое поведение соответствует графику, который является выпуклым вверх (вогнутым).

Сравним графики А и В. График на рисунке А является выпуклым вниз (это график функции $y=x^2$ при $x \ge 0$). График на рисунке В является выпуклым вверх, что в точности соответствует поведению функции $y=\sqrt{x}$.

Таким образом, график функции $y = \sqrt{x}$ изображен на рисунке В.

Ответ: В

5. Какое из данных выражений не имеет смысла?

А) $ \sqrt{2} $

Б) $ -\sqrt{2} $

В) $ \sqrt{-2} $

Г) $ \sqrt{(-2)^2} $

Для того чтобы определить, какое из выражений не имеет смысла, необходимо вспомнить определение арифметического квадратного корня. Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ определен только для неотрицательных чисел, то есть для $a \ge 0$.

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

А) $\sqrt{2}$

Подкоренное выражение равно 2. Поскольку $2 > 0$, данное выражение имеет смысл. Это иррациональное число.

Б) $-\sqrt{2}$

Это выражение является числом, противоположным $\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2}$ имеет смысл, то и $-\sqrt{2}$ имеет смысл. Это отрицательное иррациональное число.

В) $\sqrt{-2}$

Подкоренное выражение равно -2. Поскольку $-2 < 0$, извлечение квадратного корня из отрицательного числа в множестве действительных чисел невозможно. Следовательно, данное выражение не имеет смысла.

Г) $\sqrt{(-2)^2}$

Сначала нужно выполнить действие в скобках под корнем: $(-2)^2 = 4$. Выражение принимает вид $\sqrt{4}$. Поскольку $4 > 0$, данное выражение имеет смысл. Его значение равно 2.

Таким образом, единственное выражение, которое не имеет смысла, это $\sqrt{-2}$.

Ответ: В

6. Вычислите значение выражения $\sqrt{7x - 3}$ при $x = 4$.

А) 5

Б) -5

В) 25

Г) -25

6.

Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{7x-3}$ при $x = 4$, необходимо подставить значение $x$ в выражение и выполнить все арифметические действия в правильном порядке.

1. Подставим $x = 4$ в исходное выражение:

$\sqrt{7 \cdot 4 - 3}$

2. Согласно порядку действий, сначала выполним умножение под знаком корня:

$7 \cdot 4 = 28$

Теперь выражение имеет вид:

$\sqrt{28 - 3}$

3. Далее выполним вычитание под знаком корня:

$28 - 3 = 25$

Получаем:

$\sqrt{25}$

4. Вычислим квадратный корень из 25. Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа есть неотрицательное число.

$\sqrt{25} = 5$

Таким образом, значение выражения при $x = 4$ равно 5. Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: 5

7. Чему равно значение выражения $\sqrt{36 \cdot 0,81}$?

А) 6,9

Б) 54

В) 5,4

Г) 0,54

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{36 \cdot 0,81} $, воспользуемся свойством квадратного корня из произведения. Это свойство гласит, что корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для $ a \geq 0, b \geq 0 $).

Применим это свойство к данному выражению:
$ \sqrt{36 \cdot 0,81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{0,81} $

Теперь вычислим значение каждого квадратного корня по отдельности:
$ \sqrt{36} = 6 $, так как $ 6^2 = 36 $.
$ \sqrt{0,81} = 0,9 $, так как $ 0,9^2 = 0,81 $.

На последнем шаге выполним умножение полученных результатов:
$ 6 \cdot 0,9 = 5,4 $

Таким образом, значение исходного выражения равно 5,4. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: 5,4

8. Найдите значение выражения $(\frac{1}{5}\sqrt{10})^2$.

А) 2

Б) 4

В) 2,5

Г) 0,4

Чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{5}\sqrt{10})^2$, необходимо возвести в квадрат каждый множитель, стоящий в скобках. Для этого воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.

Применим это свойство к данному выражению:

$(\frac{1}{5}\sqrt{10})^2 = (\frac{1}{5})^2 \cdot (\sqrt{10})^2$

Теперь вычислим значение каждого из получившихся множителей:

1. Возводим в квадрат дробь $\frac{1}{5}$:

$(\frac{1}{5})^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$

2. Возводим в квадрат $\sqrt{10}$. По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$.

$(\sqrt{10})^2 = 10$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{25} \cdot 10 = \frac{10}{25}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 5:

$\frac{10}{25} = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$

Чтобы сравнить результат с предложенными вариантами, переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: 0,4