Страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

610. В одном контейнере было 90 кг яблок, а в другом – 75 кг. После того как из первого контейнера взяли в 3 раза больше яблок, чем из второго, в первом осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором. Сколько килограммов яблок взяли из первого контейнера?

Обозначим за $x$ количество килограммов яблок, которое взяли из второго контейнера. Согласно условию, из первого контейнера взяли в 3 раза больше яблок, то есть $3x$ кг.

После этого в первом контейнере осталось $90 - 3x$ кг яблок. Во втором контейнере осталось $75 - x$ кг яблок.

Известно, что в первом контейнере осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором. Это можно записать в виде уравнения:

$2 \cdot (90 - 3x) = 75 - x$

Решим это уравнение:

$180 - 6x = 75 - x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числа — в левую:

$180 - 75 = 6x - x$

$105 = 5x$

$x = \frac{105}{5}$

$x = 21$

Итак, из второго контейнера взяли 21 кг яблок.

Вопрос задачи — сколько килограммов яблок взяли из первого контейнера. Это количество равно $3x$.

$3 \cdot 21 = 63$ (кг)

Ответ: из первого контейнера взяли 63 кг яблок.

611. От пристани против течения реки отплыла моторная лодка, собственная скорость которой равна $12 \text{ км/ч}$. Через $40 \text{ мин}$ после отправления лодки вышел из строя мотор, и лодку течением реки через $2 \text{ ч}$ принесло к пристани. Какова скорость течения реки?

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч.

1. Найдем расстояние, которое лодка проплыла против течения
Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения. $V_{против} = 12 - x$ км/ч.
Лодка двигалась против течения 40 минут. Переведем это время в часы:
$t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
За это время лодка отплыла от пристани на расстояние $S_1$:
$S_1 = V_{против} \times t_1 = (12 - x) \times \frac{2}{3}$ км.

2. Найдем расстояние, которое лодка проплыла обратно к пристани
После поломки мотора лодка дрейфовала по течению, то есть ее скорость была равна скорости течения реки: $V_{дрейф} = x$ км/ч.
Время, за которое лодку принесло обратно к пристани, составляет $t_2 = 2$ ч.
За это время лодка прошла расстояние $S_2$:
$S_2 = V_{дрейф} \times t_2 = x \times 2$ км.

3. Составим и решим уравнение
Лодка отошла от пристани и вернулась к ней же, следовательно, расстояние, которое она проплыла против течения ($S_1$), равно расстоянию, которое ее снесло течением обратно ($S_2$).
$S_1 = S_2$
$(12 - x) \times \frac{2}{3} = 2x$
Разделим обе части уравнения на 2:
$(12 - x) \times \frac{1}{3} = x$
Теперь умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:
$12 - x = 3x$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть уравнения:
$12 = 3x + x$
$12 = 4x$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$
Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

612. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{a - 2b}{a^2 + 2ab} - \frac{1}{a^2 - 4b^2} : \frac{a + 2b}{(2b - a)^2}\right) : \frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2} = \frac{2b}{a^2};$

2) $\left(\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{a^2 + 6a + 9}\right) \cdot \frac{a^2 - 9}{a + 1} - \frac{a^2 - 9a}{a + 3} = a.$

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения по действиям.

Сначала выполним деление в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и заменим деление умножением на обратную дробь. Заметим, что $(2b-a)^2 = (-(a-2b))^2 = (a-2b)^2$.

$ \frac{1}{a^2-4b^2} : \frac{a+2b}{(2b-a)^2} = \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)^2}{a+2b} = \frac{(a-2b)^2}{(a-2b)(a+2b)^2} = \frac{a-2b}{(a+2b)^2} $

Теперь выполним вычитание в скобках, используя полученный результат. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2+2ab = a(a+2b)$.

$ \frac{a-2b}{a^2+2ab} - \frac{a-2b}{(a+2b)^2} = \frac{a-2b}{a(a+2b)} - \frac{a-2b}{(a+2b)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+2b)^2$:

$ \frac{(a-2b)(a+2b)}{a(a+2b)^2} - \frac{a(a-2b)}{a(a+2b)^2} = \frac{a^2-4b^2 - (a^2-2ab)}{a(a+2b)^2} = \frac{a^2-4b^2-a^2+2ab}{a(a+2b)^2} = \frac{2ab-4b^2}{a(a+2b)^2} = \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} $

Наконец, выполним последнее деление. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби: $a^2-2ab = a(a-2b)$ и $a^2+4ab+4b^2 = (a+2b)^2$.

$ \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} : \frac{a^2-2ab}{a^2+4ab+4b^2} = \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} \cdot \frac{(a+2b)^2}{a(a-2b)} $

Сократим общие множители $(a-2b)$ и $(a+2b)^2$:

$ \frac{2b}{a} \cdot \frac{1}{a} = \frac{2b}{a^2} $

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения по действиям.

Сначала выполним вычитание в скобках. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2+6a+9 = (a+3)^2$.

$ \frac{2a}{a+3} - \frac{4a}{a^2+6a+9} = \frac{2a}{a+3} - \frac{4a}{(a+3)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(a+3)^2$:

$ \frac{2a(a+3)}{(a+3)^2} - \frac{4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2+6a-4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2+2a}{(a+3)^2} = \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} $

Теперь выполним умножение. Разложим числитель второй дроби на множители: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$ \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} \cdot \frac{a^2-9}{a+1} = \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} \cdot \frac{(a-3)(a+3)}{a+1} $

Сократим общие множители $(a+1)$ и $(a+3)$:

$ \frac{2a}{a+3} \cdot (a-3) = \frac{2a(a-3)}{a+3} $

Наконец, выполним последнее действие. В исходном примере знак между выражениями нечеткий, но тождество выполняется при знаке "минус".

$ \frac{2a(a-3)}{a+3} - \frac{a^2-9a}{a+3} $

Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$ \frac{2a(a-3) - (a^2-9a)}{a+3} = \frac{2a^2-6a-a^2+9a}{a+3} = \frac{a^2+3a}{a+3} $

Вынесем в числителе общий множитель $a$ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{a(a+3)}{a+3} = a $

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

613. Расстояние между двумя городами легковая машина проезжает за 2 ч, а грузовая – за 3 ч. Через какое время после начала движения они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Для решения этой задачи можно принять все расстояние между городами за 1 (одну целую единицу). Тогда скорость каждой машины будет измеряться в долях этого расстояния, преодолеваемых за час.

1. Определим скорость легковой машины. Так как она проезжает все расстояние (1) за 2 часа, ее скорость равна:

$v_{легковая} = \frac{1 \text{ расстояние}}{2 \text{ ч}} = \frac{1}{2}$ расстояния/час.

2. Определим скорость грузовой машины. Так как она проезжает все расстояние (1) за 3 часа, ее скорость равна:

$v_{грузовая} = \frac{1 \text{ расстояние}}{3 \text{ ч}} = \frac{1}{3}$ расстояния/час.

3. Когда машины движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения ($v_{сближения}$):

$v_{сближения} = v_{легковая} + v_{грузовая} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6:

$v_{сближения} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ расстояния/час.

Это означает, что за один час обе машины, двигаясь навстречу, вместе преодолевают $\frac{5}{6}$ всего расстояния.

4. Чтобы найти время ($t$), через которое они встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:

$t = \frac{1}{v_{сближения}} = 1 \div \frac{5}{6} = 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$ часа.

5. Преобразуем полученный результат в более удобный вид. Выделим целую часть из дроби $\frac{6}{5}$:

$\frac{6}{5} \text{ ч} = 1\frac{1}{5}$ часа.

Переведем дробную часть часа в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:

$\frac{1}{5} \text{ часа} = \frac{1}{5} \cdot 60 = 12$ минут.

Таким образом, машины встретятся через 1 час и 12 минут.

Ответ: через $1\frac{1}{5}$ часа (или 1 час 12 минут).

614. Решите уравнение:

1) $x^2 = 0$;

2) $x^2 - 1 = 0$;

3) $x^2 + 5x = 0$;

4) $-3x^2 + 12 = 0$;

5) $5x^2 - 6x = 0$;

6) $0.2x^2 + 2 = 0$;

7) $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$;

8) $x^2 - 2x + 1 = 0$;

9) $9x^2 + 30x + 25 = 0$.

1) Дано уравнение $x^2 = 0$. Это простейшее неполное квадратное уравнение. Чтобы найти его корень, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \sqrt{0}$
$x = 0$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = 0$.

2) Дано уравнение $x^2 - 1 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения.
$x^2 = 1$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Следует помнить, что существует два числа, квадрат которых равен 1.
$x = \pm\sqrt{1}$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

3) Дано уравнение $x^2 + 5x = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x(x + 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x + 5 = 0$
Из второго уравнения находим второй корень: $x = -5$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -5$.

4) Дано уравнение $-3x^2 + 12 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть.
$-3x^2 = -12$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-3$.
$x^2 = \frac{-12}{-3}$
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

5) Дано уравнение $5x^2 - 6x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x(5x - 6) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю.
$x = 0$ или $5x - 6 = 0$
Решим второе уравнение:
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5}$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{6}{5}$.

6) Дано уравнение $0,2x^2 + 2 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть.
$0,2x^2 = -2$
Разделим обе части уравнения на $0,2$.
$x^2 = \frac{-2}{0,2}$
$x^2 = -10$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

7) Дано уравнение $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x(\frac{1}{6}x - 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю.
$x = 0$ или $\frac{1}{6}x - 5 = 0$
Решим второе уравнение:
$\frac{1}{6}x = 5$
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дроби.
$x = 5 \cdot 6$
$x = 30$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 30$.

8) Дано уравнение $x^2 - 2x + 1 = 0$. Это полное квадратное уравнение. Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = x$ и $b = 1$.
$(x - 1)^2 = 0$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: $x = 1$.

9) Дано уравнение $9x^2 + 30x + 25 = 0$. Это полное квадратное уравнение. Левая часть также является полным квадратом, на этот раз квадратом суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Здесь $a^2 = 9x^2 \implies a = 3x$, а $b^2 = 25 \implies b = 5$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$. Это совпадает с уравнением.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(3x + 5)^2 = 0$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$3x + 5 = 0$
$3x = -5$
$x = -\frac{5}{3}$
Ответ: $x = -\frac{5}{3}$.

615. Натуральные числа от 1 до 37 записаны в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится нацело на следующее за ними число. Какое число записано на третьем месте, если на первом месте записано число 37, а на втором – 1?

Обозначим последовательность натуральных чисел от 1 до 37 как $a_1, a_2, \dots, a_{37}$. Эта последовательность является перестановкой множества $\{1, 2, \dots, 37\}$.

По условию, сумма любых первых $k$ чисел, которую мы обозначим как $S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i$, делится нацело на следующее за ними число $a_{k+1}$. Это можно записать как $S_k \vdots a_{k+1}$ для всех $k$ от 1 до 36.

В задаче дано, что на первом месте стоит число 37, а на втором — 1. Таким образом, $a_1 = 37$ и $a_2 = 1$. Требуется найти число на третьем месте, то есть $a_3$.

Рассмотрим условие для $k=2$: сумма первых двух чисел $S_2$ должна делиться на третье число $a_3$.

$S_2 = a_1 + a_2 = 37 + 1 = 38$.

Следовательно, $a_3$ должен быть делителем числа 38. Натуральные делители числа 38: $1, 2, 19, 38$.

Поскольку $a_3$ является одним из чисел от 1 до 37, он не может быть равен 38. Также, все числа в последовательности должны быть различны, а числа 1 и 37 уже заняты на первой и второй позициях. Значит, $a_3$ не может быть равен 1. Таким образом, для $a_3$ остаются два возможных значения: 2 или 19.

Чтобы определить, какое из этих двух чисел является верным, рассмотрим последнее число в последовательности, $a_{37}$. Для этого применим условие для $k=36$: сумма $S_{36}$ должна делиться на $a_{37}$.

Сумма всех чисел последовательности, $S_{37}$, это сумма натуральных чисел от 1 до 37:

$S_{37} = \frac{37 \cdot (37 + 1)}{2} = \frac{37 \cdot 38}{2} = 37 \cdot 19 = 703$.

Сумма $S_{36}$ связана с $S_{37}$ очевидным образом: $S_{36} = S_{37} - a_{37} = 703 - a_{37}$.

Условие $S_{36} \vdots a_{37}$ означает, что $(703 - a_{37}) \vdots a_{37}$. Поскольку $a_{37}$ делится само на себя, то и $703$ должно делиться на $a_{37}$.

Делителями числа 703 являются $1, 19, 37, 703$. Так как $a_{37}$ — это число от 1 до 37, и оно не может быть равно уже использованным числам 1 и 37, то для $a_{37}$ остается единственный вариант: $a_{37} = 19$.

Теперь мы можем однозначно определить $a_3$. Мы выяснили, что $a_3$ может быть либо 2, либо 19. Но так как число 19 должно находиться на последнем, 37-м месте, оно не может быть на третьем. Следовательно, $a_3$ может быть только 2.

Ответ: 2